1 准确率Mean average precision

1.1 定义

Precision at position k (P@k)是一个衡量排名前k位的方法，使用两个级别(相关的和不相关)的相关性判断。公式：
$P@k=\frac{1}{k}{\sum }_{j=1}^k{r}^j$
k是一个截断位置
$r_j=1$,如果第j个位置的文档是相关的。
$r_j=0$,否则。

平均准确率 average precision

$AP=\frac{1}{|D_{+}|}{\sum }_{j=1}^N{r}_{j}P@j$

$|D_{+}|$是关于查询的相关文档的数量，也可以认为相当于相当查询的标准答案的相关文档数量。
j是排序后的文档结果。
一般来说会有很多个query参与到训练集中。所以要取平均值： Mean average precision。
这个评价指标是基于二维的：相关、不相关。

1.2 计算

举个例子，现有一个query，与之相关的文档有4——D1,D2,D3,D4，用rank方法检索后，D2,D3,D4的排序分别是1，3，5，D1没有搜索到。也就是说rank后的结果:D2,D5,D3,D6,D4。D5，D6是不相关文档。
那么AP = $\frac{1}{4}$(P@1+P@3+P@5)
$P@1=\frac{1}{1}=1$

$P@3=\frac{2}{3}$,k=3,从1到3，相关文档有2个。

$P@5=\frac{3}{5}$,k=5,从1到5，相关文档有3个。

那么AP = （1/1 + 2/3 + 3/5）/ 4=0.57

2 NDCG(Normalized Discounted Cumulative Gain)

2.1定义

NDCG(Normalized Discounted Cumulative Gain) 归一化折损累计增益。

$NDCG@k=\frac{DCG@k}{IDCG@k}$

$DCG@K={\sum }_{j=1}^{k}g(r_j)d(j)$, $g(r_j)=2^{r_j}-1$,
$d(j)=1,2$,j=1,2
$d(j)=\frac{1}{lo{g}_2(j)}$,其他情况
也有一种写法是：$DCG@K={\sum }_{j=1}^k\frac{2^{r_j}-1}{lo{g}_2(j+1)}$

这个计算公式可以针对多种分类级别。例如$r_j=3,2,1,0$。而且是包含了位置影响因素。相关性高的，排在前面会使得整体NDCG分值变大。

IDCG@k为理想情况下最大的DCG值：
$IDCG@k={\sum }_{j=1}^k\frac{2^{idea{l}_i}-1}{lo{g}_2(j+1)}$

2.2 例子

假设对于某一个query，本次搜索召回5个文档，其关联分数分别为 3、2、3、0、1、2。

j	$2^{r_j}-1$	$lo{g}_2(j+1)$	res
1	3	1	3
2	2	1.58	1.26
3	3	2	1.5
4	0	2.32	0
5	1	2.58	0.38
6	2	2.8	0.71

所以 DCG = 3+1.26+1.5+0+0.38+0.71 = 6.86

接下来计算IDCG。假设这个query的相关文档有6个，相关性分数为：3、3、3、2、2、1。

j	$g(r_j)$	d(j)	res
1	3	1	3
2	3	1.58	1.89
3	3	2	1.5
4	2	2.32	0.86
5	2	2.58	0.77
6	1	2.8	0.35

所以IDCG = 3+1.89+1.5+0.86+0.77+0.35 = 8.37
最终 NDCG@6 = 6.86/8.37 = 81.96%

参考链接：https://www.cnblogs.com/by-dream/p/9403984.html https://blog.csdn.net/zimohuakai/article/details/6847453
《LETOR: A benchmark collection for research on learning to rank for information retrieval》