1 决策树

1.1决策树定义

决策树的基本组成：决策节点、分支、叶子。

决策树表示给定特征条件下的概率分布。
条件概率分布定义在特征空间的一个划分上。将特征空间划分为互不相交的单元。并在每个单元上定义一个类的概率分布，就构成了一个条件概率分布。
决策树的一条路径对应于划分中的一个单元。

决策树的本质是在特征空间上的切割。

1.2信息增益

熵：设X是一个取有限个值的离散随机变量，其概率分布为：$P(X=x_i)=p_i,i=1,2,3...n$
那么X的熵为：$H(X)=-{\sum }_{i=1}^n{p}_{i}log{p}_i$
对数以2为底或者以e为底，这时熵的单位称为比特或者纳特。熵只依赖于X的分布，而与X的具体取值无关。
熵的理论解释：熵越大，随机变量的不确定性越大。$0<=H(X)<=logn$.
例如，一个骰子6个面全是1，那么$H(X)=-1\ast log1=0$。因为结果是确定的。
如果6个面分别为1,2,3,4,5,6，并且每个面的概率相同，都是$\frac{1}{6}$。那么$H(X)=-(\frac{1}{6}log(\frac{1}{6})+\frac{1}{6}log(\frac{1}{6})+\frac{1}{6}log(\frac{1}{6})+\frac{1}{6}log(\frac{1}{6})+\frac{1}{6}log(\frac{1}{6})+\frac{1}{6}log(\frac{1}{6}))=-(0.17\ast (-2.58)\ast 6)=2.58$，这个时候的不确定性就比刚才要高。

设有随机变量(X,Y)，其联合概率分布为$P(X=x_i,Y=y_i)=p_{i,j},i=1,2,3...n;j=1,2,3...m$
条件熵H(Y|X)：表示在已知随机变量X的条件下，Y的不确定性。定义为X给定条件下Y的条件概率分布的熵对X的数学期望：$H(Y|X)={\sum }_{i=1}^n{p}_{i}H(Y|X=x_i)$

当熵和条件熵，由数据估计得到时，分别称为经验熵与经验条件熵。

信息增益：特征A对训练数据集D的信息增益g(D,A)定义为：集合D的经验熵H(D)与特征A给定条件下D的经验条件熵H(D|A)之差：$g(D,A)=H(D)-H(D|A)$
这表示了特征X的引入，使得分类Y的不确定性减少的程度。
互信息=信息熵H(Y)-条件熵H(Y|X)

1.3 信息增益的算法

设训练数据集为D
|D|表示其样本容量，即样本个数
设有K个类$C_k$,k=1,2,3…K
$|C_k|$表示属于类$C_k$的样本数
特征A有n个不同的取值{$a_1,a_2,...a_n$}。根据特征A的取值，将D划分为n个子集$D_1,D_2...D_n$。
$|D_i|$为子集$D_i$的样本个数
子集$D_i$中属于类$C_k$的样本集合为$D_{ik}$
$|D_{ik}|$为集合$D_{ik}$的样本数

输入：数据集D，以及特征A
输出：特征A对数据集的信息增益g(D,A)
1 计算数据集D的经验熵H(D)：$H(D)=-{\sum }_{k=1}^K\frac{|C_k|}{|D|}lo{g}_2\frac{|C_k|}{|D|}$
2 计算特征A对数据集D的经验条件熵H(D|A):$H(D|A)={\sum }_{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}H(D_i)={\sum }_{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}{\sum }_{k=1}^K\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}lo{g}_2\frac{|D_{ik}|}{|D_i|}$
3 计算信息增益g(D,A):$g(D,A)=H(D)-H(D|A)$

1.4 信息增益比

以信息增益来选择特征，会倾向于选择特征取值多的特征。可以使用信息增益比来解决这个问题。

特征A对数据集D的信息增益比定义为信息增益与训练数据集D关于特征A的值的熵的比：$g_R(D,A)=\frac{g(D,A)}{H_A(D)}$
$H_A(D)=-{\sum }_{i=1}^n\frac{|D_i|}{|D|}lo{g}_2\frac{|D_i|}{|D|}$，n为特征A的取值个数

2 决策树ID3

2.1 ID3树的构建

按照信息增益选择特征，形成的决策树称为ID3树。

输入：训练数据集D、特征集合A、阈值$ϵ$
输出：决策树T
1 若D中所有实例属于同一类$C_k$，则T为单节点树，并将类$C_k$作为该节点的类标签，返回T；
2 若$A=\varnothing$，则T为单节点树，并选择D中实例数最大的类$C_k$作为该节点的类标签，返回T；
3 按照信息增益的算法，计算特征集合A中每个特征对D的信息增益，选择信息增益最大的特征$A_g$;
4 如果$A_g$的信息增益小于阈值$ϵ$，则T为单节点树，并选择D中实例数最大的类$C_k$作为该节点的类标签，返回T；
5 否则，对$A_g$的每一个可能的值$a_i$，依$A_g=a_i$将D分割为若干非空子集$D_i$，将$D_i$中实例数最大的类作为节点标记，构建子节点。由节点及其子节点构成树T，返回T；
6 对第i个子节点，以数据集$D_i$作为训练集，以A-{$A_g$}为特征集，递归地调用步骤1-5，得到子树$T_i$，返回$T_i$。

2.2 决策树的剪枝

2.2.1 损失函数定义与计算

通过极小化 决策树整体的损失函数 来实现。
设树|T|的叶子节点个数为|T|，t是树T的叶子节点，该叶子节点有$N_t$个样本。其中k类的样本量为$N_{tk}$，k=1,2,3…K。
说明：一棵树T的叶子节点不一定只包含一类数据。例如在上述步骤2和5，就可能一个节点中实际存在多个类别的数据。只是因为再细分特征的信息增益太小了，不再划分。

$H_t(T)$为叶子节点t上的经验熵，$\alpha >=0$为参数，
损失函数：$C_{\alpha }(T)={\sum }_{i=1}^{|T|}{N}_t{H}_t(T)+\alpha |T|$
说明：树的损失函数对所有叶子节点的遍历。每一个叶子节点计算：当前叶子节点个数$N_t$，以及叶子节点的熵$H_t(T)$。它们的乘积表示当前叶子节点不确定的度量，也就是损失。对所有叶子节点不确定性的度量，就称为树的损失。
$\alpha |T|$是为了防止树过拟合。

${\sum }_{i=1}^{|T|}{N}_t{H}_t(T)$熵越小，说明叶子节点越来越多，这一部分会使得模型越来越复杂。$\alpha |T|$是为了对抗模型过渡复杂。

经验熵：$H_t(T)=-{\sum }_k\frac{N_{tk}}{N_t}log\frac{N_{tk}}{N_t}$

$C(T)={\sum }_{i=1}^{|T|}{N}_t{H}_t(T)=-{\sum }_{i=1}^{|T|}{\sum }_{k=1}^K{N}_{tk}log\frac{N_{tk}}{N_t}$

那么 $C_{\alpha }(T)=C(T)+\alpha |T|$

2.2.2 剪枝过程

输入：决策树T，参数$\alpha$
输出：剪枝后的子树$T_{\alpha }$
1 计算每个节点的经验熵
2 递归地从树的叶子结点向上缩
设一组叶子节点回缩到其父节点之前与之后的损失函数分别为：$C_{\alpha }(T_B)$，$C_{\alpha }(T_A)$
如果：$C_{\alpha }(T_A)$<=$C_{\alpha }(T_B)$,则进行剪枝。
3 返回2，直至不能继续为止，得到损失最小的子树$T_a$。

以上过程将信息增益，换成信息增益比，那么得到的树就是C4.5。

2.3 CART树

CART是在给定输入随机变量X条件下输出随机变量Y的条件概率分布的学习方法。
CART树是一棵二叉树。左分支的取值为是，右分支的取值为否。
这样的决策树等价于递归地二分每个特征，将输入空间划分为有限个单元，并在这些单元上确定预测的概率分布。
CART算法=决策树生成 + 决策树剪枝

2.3.1 CART回归树

• 树的定义

设Y是连续变量，给定训练数据集：D={(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn)}D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...(x_n,y_n)\}D={(x1​,y1​),(x2​,y2​),...(xn​,yn​)}，$y_i\in R$ 。假设已经将输入空间划分为M个单元R1,R2…Rm，每个单元上$R_m$上有一个固定的输出$C_m$，则回归树表示为：$f(x)={\sum }_{m=1}^M{C}_{m}I(x\in R_m)$
备注：遍历所有分割的子空间，数据属于某个子空间，函数值就是该空间的输出值。

• 求解每个单元上的最优输出值

平方误差来表示预测误差，用平方误差最小准则求解每个单元上的最优输出值：${\sum }_{x_i\in R_m}(y_i-f(x){)}^2$

那么$R_m$上的$C_m$的最优值怎么计算呢？$\widehat{c_m}=ave(y_i|x_i\in R_m)$ 使用落在$R_m$空间内所有点的y值求平均得到。

• 如何对输入空间进行划分

使用启发式选择的方法。
选择第j个变量$x^{(j)}$和它的取值s，作为切分变量和切分点，定义两个区域，一个是比s小的，一个是比s大的：R1={x∣x(j)<=s}R_1=\{x|x^{(j)}<=s\}R1​={x∣x(j)<=s}，R2={x∣x(j)>s}R_2=\{x|x^{(j)}>s\}R2​={x∣x(j)>s}

寻找最优切分变量和切分点：
$mi{n}_{j,s}[mi{n}_{e_1}{\sum }_{x_i\in R_1}(y_i-c_1{)}^2+mi{n}_{e2}{\sum }_{x_i\in R_2}(y_i-c_2{)}^2]$

$\widehat{c_1}=ave(y_i|x_i\in R_1)$
$\widehat{c_2}=ave(y_i|x_i\in R_2)$
使得两部分误差和最小的变量j和切分点s
需要对所有变量和所有切分点遍历。（这是NP问题吧）

再对两个区域重复上述划分，直到满足停止条件。

总结成算法是这样的：最小二乘回归树生成算法。
输入：训练数据集D
输出：回归树f(x)
在训练数据集所在的输入空间中，递归地将每个区域划分为2个子区域，并决定每个子区域上的输出值，构建二叉决策树。
1 选择最优切分变量j和切分点s，求解

$mi{n}_{j,s}[mi{n}_{e_1}{\sum }_{x_i\in R_1}(y_i-c_1{)}^2+mi{n}_{e2}{\sum }_{x_i\in R_2}(y_i-c_2{)}^2]$

遍历变量j，对固定的切分变量j扫描切分点s，选择使得上式达到最小值的对（j,s）
2 用选定的对(j,s)划分区域，并决定相应的输出值：
R1={x∣x(j)<=s}R_1=\{x|x^{(j)}<=s\}R1​={x∣x(j)<=s}
R2={x∣x(j)>s}R_2=\{x|x^{(j)}>s\}R2​={x∣x(j)>s}
$\widehat{c_m}=\frac{1}{N_m}{\sum }_{x_i\in R_m(j,s)}{y}_i$，$x\in R_m,m=1,2$
每个子空间数据的y的平均值作为空间的输出。

3 继续对2个子区域调用步骤1,2，直到满足停止条件
4 将输入空间划分为M个区域$R_1,R_2,...R_M$，生成决策树：$f(x)={\sum }_{m=1}^M{C}_{m}I(x\in R_m)$

2.3.2 CART分类树

选择依据基尼指数
假设有K个分类，每个样本点属于分类k的概率是$P_k$。则概率分布的基尼指数：$Gini(p)={\sum }_{k=1}^K{p}_k(1-p_k)=1-{\sum }_{k=1}^K{p}_k^2$
对于二分类$Gini(p)=2p(1-p)$

对于给定数据集的基尼指数:$Gini(D)=1-{\sum }_{k=1}^K(\frac{|C_k|}{|D|}{)}^2$

如果样本集合D根据特征A是否为a，划分为数据集D1，和数据集D2。
D1={(x,y)∈D∣A(x)=a}D_1=\{(x,y)\in D|A(x)=a\}D1​={(x,y)∈D∣A(x)=a}
$D_2=D-D_1$

在特征A下，集合D的基尼指数为：$Gini(D)=\frac{|D_1|}{|D|}Gini(D_1)+\frac{|D_2|}{|D|}Gini(D_2)$

CART分类树生成算法
输入：训练数据集D，停止计算条件
输出：CART分类树
从根节点开始，递归对每个结点操作。
1、设结点数据集为D，对每个特征A，对其每个值a，根据样本点对A=a的测试为是或否，将D分为D1，D2，计算A=a的基尼指数
2、在所有的特征A以及所有可能的切分点a中，选择基尼指数最小的特征和切分点，将数据集分配到两个子结点中。
3、对两个子结点递归调用1，2步骤
算法停止的条件是：节点中的样本个数小于阈值，或者样本集的基尼指数小于阈值。

2.3.3 CART树剪枝

计算子树的损失函数:$C_{\alpha }(T)=C(T)+\alpha |T|$
当$\alpha$很大的时候，这样得到的会是一棵偏小的决策树。也就是叶子节点少的决策树。
$\alpha$从0到一个较大的值的过程中可以生成很多颗树。选择最优的子树$T_{\alpha }$