《线性代数》作业
一、选择题
1．如果D=，则行列式的值应为：
A． 6D B．12D C．24D D．36D
2．设A 为n阶方阵，R（A）=r<n,那么：
A．A的解不可逆 B．
C.A中所有r阶子式全不为零 D. A中没有不等于零的r阶子式
3．设n阶方阵A与B相似，那么：
A．存在可逆矩阵P，使 B．存在对角阵D，使A与B都相似于D
C． D．
4．如果，则等于
A． 6 B． ．-3 D．-6
5．设矩阵，m<n,且R（A）=r,那么：
A．r<m B．r<n
C．A 中r阶子式不为零 D．A的标准型为， 其中E为r阶单位阵。
6．A为n阶可逆矩阵，是的一个特征根，则的伴随矩阵的特征根之一是：
A． B． C． D．
7．如果有非零解，则应为：。
A． =0 B． =． =2 D． =-2
8．设是n阶方阵，且，是的伴随阵，那么：。
A． B． C． D．
9．设A为矩阵，齐次线性方程组仅有零解的充要条件是：
A． A的列向量线性无关 B． A的列向量线性相关
C． A的行向量线性相关 D． A的行向量线性相关
10．如果有非零解，则应为：。
A． B． C． D．
11．下列命题正确的是____。
A． B．若则
C．设A、B为三角形矩阵，则A+B为三角矩阵 D．
12．矩阵A、B相似的充要条件是____________。
A．A 与B有相同的特征值 B．A与B相似于同一矩阵
C．A与B有相同的特征向量 D．形似于
13、设同阶方阵，均可逆，则的逆阵为：
A.A; B.; C.; D…
14、设A 为n阶实矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ），（Ⅱ），必有：
A、（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解。
B、（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解。
C、（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解。
D、（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解。
15、设矩阵，（），下列运算结果哪个是n阶方阵：_。
A、 B、 C、 D、
16、设向量可由向量组，……线性表示，但不能由向量组（Ⅰ），……
线性表示，记向量组（Ⅱ），……，，则：
A、不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示。
B、可由（Ⅰ）线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示。
C、不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示。
D、可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示。
17、矩阵，，，则下列运算可行的是：
A． ABC B．ACB C．CAB D．BAC
18、设A是n阶方阵，其秩R（A）=r<n,那么在A的n个行向量中：
A．任意r个行向量线性无关
B．任意r个行向量就是A的行向量组的一个最大线性无关组
C．必有r个行向量线性无关
D．任意一个行向量可由其它r个行向量线性表示
19、设同阶方阵，均可逆，则的逆阵为：
A.A; B.; C.; D…
20、设A 为n阶实矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ），（Ⅱ），必有：
A、（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解也是（Ⅱ）的解。
B、（Ⅱ）的解是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解。
C、（Ⅰ）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（Ⅰ）的解。
D、（Ⅰ）的解是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解。
21、已知3维列向量，
则。
A. 4 B. . 2 D. -2
22、设A为3阶实对称矩阵，若对任意三维列向量，有，则。
A. B. =. <0 D. 以上答案都不对
23、设矩阵，（），下列运算结果哪个是n阶方阵：____________。
A、 B、 C、 D、
24、设向量可由向量组，……线性表示，但不能由向量组（Ⅰ），……
线性表示，记向量组（Ⅱ），……，，则：
A、不能由（Ⅰ）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示。
B、可由（Ⅰ）线性表示，但不能由（Ⅱ）线性表示。
C、不能由（Ⅰ）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示。
D、可由（Ⅰ）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示。
二、填空题
1．行列式与它的转置行列式的值是__________。
2．矩阵的K阶子式共有___________;
3．n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有__________________________________;
4．行列式的某行（列）加上另一行（列）的k倍，行列式的值______________。
5．设，为三阶非零矩阵，且，则t=。
6．A、B为n阶方阵，若存在可逆矩P，使_________则称A与B相似。
7．。
8．若矩阵的，则。
9．若方程组仅有零解，则应满足的条件是。
10．设多项式则中的系数等于________，的系数等于_________。
11．已知，，且与正交，则____________。
12．设是3阶方阵，且，则行列式=（ ）
13．矩阵,则的秩是
14．设，则=
15若线性方程组有解，则常量应满足条件___________。
16.设4阶方阵其中都是四元列向量，已知,则行列式=( )
17已知矩阵A=PQ,其中,Q=,则矩阵
18.设,则秩=( )
19、任意方阵总可以分为一个对称矩阵与一个_______________矩阵之和。
20、设，为三阶非零矩阵，且，则t=________________。
21、设对应的齐次方程组 有两个线性无关的解向量，得伴随矩阵，则
。
22、A、B为n阶方阵，若存在可逆矩P，使_________则称A与B相似。
23、对于方阵A，若存在方阵B，使得___________________,则称A为可逆矩阵。
24、设矩阵有n阶子式不为零，则方程组只有___________解。
25、设A、B都是矩阵，则
AB能运算的充要条件是_______________________;
26、设是n维向量组，如果存在一组不全为零的数使______________;
则称向量组线性无关。
27、任意方阵总可以分为一个对称矩阵与一个_______________矩阵之和。
28、设对应的齐次方程组 有两个线性无关的解向量，得伴随矩阵，则
。
29、方阵A可逆的充要条件是__________________。
30、设矩阵的秩为，则齐次线性方程组的基础解系含有 个线性无关的解向量。
31、对于方阵A，若存在方阵B，使得___________________,则称A为可逆矩阵。
32、设矩阵有n阶子式不为零，则方程组只有___________解。
三、证明题
1．设A是三阶方阵，是的伴随矩阵，A的行列式为求证：．
2．已知A为n阶方阵，且，试证A可逆，并求。
3．已知A，B均为n阶正交矩阵，且，证明：。
4向量组是方程组(*)的线性无关解向量。
5的一切线性组合，其中，是方程组的全部解
6、设n阶行列式试证为等差数列。
四、计算题
1．已知n阶方阵A、B，其中，
求。
2．矩阵求.
3．设三阶方阵的每行元素之和均为3，且，其中，问
（1）A能否与对角矩阵相似？ （2）求A。
4．计算n阶行列式
5．矩阵，求。
6．已知矩阵的特征多项式有重根，问：参数取何值时，A能与对角矩阵相似？
7．计算
8．矩阵求
9．设三阶方阵A满足，，，其中：
，，
（1）证明：A能与对角矩阵相似。
（2）求出A及相似对角矩阵∧。
10．设三阶行列式满足， ，计算。
11．求向量组，，，的一个最大线性无关组，并将其正交化。
12．设若A不能与对角矩阵相似，求参数。
13计算n阶行列式
14 计算题
求齐次线性方程组
的基础解系及通解。
15、计算n阶行列式
，其中
16、计算题
求矩阵，使得
17、为何值时，方程组有解。
18、矩阵，求。
19、试用施密特正交化过程，将向量组，，正交规范化。
20、已知线性方程组无解，求。
21、已知线性方程组和有公共解，求a,b.
22、设向量组，，问：为何值时，线性无关。
23、为何值时，方程组有解。
24、试用施密特正交化过程，将向量组，，正交规范化。
25、已知方程组有非零解，求的值，并解此方程组。
26、设向量组，， 问：为何值时，，，线性相关？
27、已知线性方程组无解，求。
28、求向量组，，，的一个最大线性无关组，并将其正交化。
)
