正题

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题目大意

序列$a$有$m$个质数。然后询问一个数$n$，每次可以使$n=n-n\%a_i$
求最少操作次数。

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解题思路

首先我们设$f_i$表示由$i$变为0的最少次数，然后有动态转移fi=min{fi−i%aj}+1f_i=min\{f_{i-i\%a_j}\}+1fi​=min{fi−i%aj​​}+1
然后我们会发现$f_i$的具有单调性，证明:

$$n-n\%a_i=a_i\lfloor \frac{n}{a_i}\rfloor$$
假设$f$单调不降，$i=1$时显然成立
$a_i\lfloor \frac{k}{a_i}\rfloor$和$a_i\lfloor \frac{k+1}{a_i}\rfloor$比较
$$\because k+1>k$$
那么就有$$\lfloor \frac{k+1}{a_i}\rfloor \ge \lfloor \frac{k}{a_i}\rfloor$$
因为$f$单调不降
$$f_{\lfloor \frac{k+1}{a_i}\rfloor }\ge f_{\lfloor \frac{k}{a_i}\rfloor }$$
即$$f_{k+1}\ge f_k$$

证毕

我们发现每一个$f_i$能更新的序列都是一段连续的序列，且是位置单调不降的。那么我们考虑计算每个$f_i$能更新的区间。

设$f_x$能更新$f_k$，那么有$k\le x+nu{m}_x-1$因为若能更新那么有$k-k\%a_i=i$且对于$k$来说$x$是最大的，那么有$nu{m}_x$就是其中的$a_i$。

但若$k=x+nu{m}_x$那么$x+nu{m}_i-(x+nu{m}_i)\%nu{m}_i=x+nu{m}_i$那么就有更优的方案就不是$x$了。

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$code$

#pragma GCC optimize(2)
%:pragma GCC optimize(3)
%:pragma GCC optimize("Ofast")
%:pragma GCC optimize("inline")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int M=10000001,N=101000;
int m,n,a[N],f[M],Q,num[M],que[N],maxn;
queue<int> q;
int main()
{freopen("data.in","r",stdin);freopen("data.out","w",stdout);scanf("%d%d",&m,&Q);for(int i=0;i<m;i++)scanf("%d",&a[i]);for(int i=1;i<=Q;i++)scanf("%d",&que[i]),maxn=max(maxn,que[i]);memset(f,0x3f,sizeof(f));memset(num,0x3f,sizeof(num));for(int i=0;i<m;i++)for(int j=a[i];j<=maxn;j+=a[i])num[j]=a[i];q.push(0);f[0]=0;num[0]=a[m-1];int now=1;while(!q.empty()&&now<=maxn){int x=q.front();q.pop();if(num[x]>=2147483647/3) continue;int tmp=min(x+num[x]-1,maxn);for(;now<=tmp;now++)f[now]=f[x]+1,q.push(now);}for(int i=1;i<=Q;i++){if(f[que[i]]>=2147483647/3) printf("oo\n");else printf("%d\n",f[que[i]]);}
}