正题

题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P3934

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题目大意

长度为$n$的序列$a$

1. $1lrw:$让$l\sim r$这个区间增加$w$。
2. $2lrp:$求$a_l^{a_{l+1}^{a_{l+2}^{...}}}\%p$直到$a_r$

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解题思路

根据欧拉定理
$$a^b\%p=\{\begin{array}{c}{a}^b(b<\phi (p))\\ a^{b\%\phi (p)+\phi (p)}(b\ge \phi (p))\end{array}$$
所以我们可以使用递推求询问，然后因为有两种情况所以我们需要开一个结构体储存值和是否需要$+\phi (p)$。然后我们可以发现这样子不断递推下去，最多推到$log(p)$层左右即可退出

也就是$\phi (\phi (\phi (\phi (\phi (\phi (...\phi (p)))))))$这样子下去最多$log(p)$层左右$\phi$就为1了，因为任何数$\%1=0$所以再往后已经没有必要了，所以询问的时间复杂度是$log(p)$层左右就结束了。

修改的话用树状数组维护就可以了。

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define lobit(x) (x&-x)
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=501000,M=20000000;
ll n,cnt,m,t[N],phi[M+100],pr[M+100];
bool v[M+100];
struct node{ll w,flag;node(ll _w=0,ll _flag=0){w=_w;flag=_flag;}
};
void change(ll x,ll z)
{while(x<=n){t[x]+=z;x+=lobit(x);}
}
ll ask(ll x)
{ll sum=0;while(x){sum+=t[x];x-=lobit(x);}return sum;
}
void updata(ll l,ll r,ll x)
{change(l,x);change(r+1,-x);
}
void Get_phi()
{phi[1]=1;for(ll i=2;i<=20000000;i++){if(!v[i]){pr[++cnt]=i;phi[i]=i-1;}for(ll j=1;j<=cnt;j++){ll t=i*pr[j];if(t>20000000) break;v[t]=1;if(i%pr[j]==0){phi[t]=phi[i]*pr[j];break;}phi[t]=phi[i]*(pr[j]-1);}}
}
node power(ll x,ll b,ll p)
{node ans=node(1,0);if(x>=p){x%=p;ans.flag=1;}while(b){if(b&1) ans.w=ans.w*x;if(ans.w>=p){ans.w%=p;ans.flag=1;}x=x*x;b>>=1;if(x>=p){ans.flag=1;x%=p;}}return ans;
}
node solve(ll l,ll r,ll p)
{ll w=ask(l);node ans;if(p==1) return node(0,1);if(w==1) return node(1,0);if(l==r) return w<p?node(w,0):node(w%p,1);ans=solve(l+1,r,phi[p]);if(ans.flag) ans.w+=phi[p];return power(w,ans.w,p);
}
int main()
{Get_phi();scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=n;i++){ll w;scanf("%lld",&w);updata(i,i,w);}for(ll i=1;i<=m;i++){ll op,l,r,w;scanf("%lld%lld%lld%lld",&op,&l,&r,&w);if(op==1) updata(l,r,w);else{node ans=solve(l,r,w);printf("%lld\n",ans.w);}}
}