正题

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题目大意

给出$n,m,a,b,c,x_0$
$$x_i=a{x}_{i-1}^2+b{x}_{i-1}+c$$

求$x_n\%m$

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解题思路

第一段$n\le 1e6$直接$O(n)$暴力做
第二段$m\le 1e6$找到一个循环节然后在套到n里
第三段:
$$x_i=a{x}_{i-1}^2+b{x}_{i-1}+c$$
学过二次函数的对于给出的性质有敏锐的直觉
$$x_i=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$$
$4ac=b^2-2b\Rightarrow 4ac-b^2=2b$
$$x_i=a(x+\frac{b}{2a}{)}^2-\frac{b}{2a}$$
然后定义$k=\frac{b}{2a}$
$$x_i+k=a(x+k{)}^2$$
同时乘上$a$
$$a(x_i+k)=(a(x+k){)}^2$$
定义$y_i=a(x_i+k)$
那么有$$y_i=y_{i-1}^2$$
即$$y_n=y_0^{2^n}$$

用费马小可以让指数摸上$m-1$计算出$y_n$，然后倒推出$x_n$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll M=1e6+10;
ll n,m,a,b,c,x,fa[M],cir[M],v[M];
void solve1(){for(ll i=1;i<=n;i++)x=(a*x%m*x%m+b*x%m+c)%m;printf("%lld",x);
}
void solve2(){x%=m;for(ll i=0;i<=m;i++)fa[i]=(a*i%m*i%m+b*i%m+c)%m;ll cnt=0;cir[0]=x;v[x]=1;while(!v[x=fa[x]])cir[++cnt]=x,v[x]=cnt;x=v[x];if(n<=cnt) printf("%lld",cir[n]);else{n-=x;printf("%lld",cir[x+n%(cnt-x+1)]);}
}
ll power(ll x,ll b,ll p){ll ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*x%p;x=x*x%p;b>>=1;}return ans;
}
void solve3(){ll z=b/2/a,y=a*(x+z)%m;y=power(y,power(2,n,m-1),m);printf("%lld",(y*power(a,m-2,m)%m-z+m)%m);
}
int main()
{scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&a,&b,&c,&n,&m);x=x%m;a%=m;b%=m;c%=m;if(n<=1e6)solve1();else if(m<=1e6)solve2();else solve3();
}