正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4587

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题目大意

$n$个数，每次选择一个区间，然后询问这个区间的子集和所不能表示的最小的正整数。

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解题思路

假设我们从小到大加入数字，我们发现如果这个数不是$1$显然这个区间内至少有一个$1$。

我们假设现在能表示的最小的数是$mx$，加入一个数$x$时，如果$x>mx+1$那么$mx+1$就不能表现出来，否则我们就可以表示出$1\sim mx+x$的数，即让$mx=mx+x$。

考虑如何优化，如果我们之前能表现出$1\sim mx$，加上某些数之后能表现出$1\sim m{x}^{\prime }$了，那么我们显然可以寻找任何一个在$mx+1\sim m{x}^{\prime }+1$里的数字来扩充，那么我们之间将这段区间的和取来不就好了吗。这个可以用主席树维护。

时间复杂度如何，我们发现每次找到的区间和如果还能往下显然是大于$mx$的，然后会让$m{x}^{\prime }+mx$也就是每次至少可以让$m{x}^{\prime }$加上自己的一半，这个时间复杂度是接近倍增也就是$log$的。

所以时间复杂度$O(n{\log }^{2}n)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e6+10,M=5e6+10,inf=1e9;
ll n,m,cnt,rt[N];
ll ls[M],rs[M],sum[M];
ll Change(ll x,ll L,ll R,ll val){ll y=++cnt;rs[y]=rs[x];ls[y]=ls[x];ll mid=(L+R)>>1;sum[y]=sum[x]+val;if(L==R)return y;if(val<=mid)ls[y]=Change(ls[x],L,mid,val);else if(val>mid)rs[y]=Change(rs[x],mid+1,R,val);return y;
}
ll Ask(ll x,ll y,ll L,ll R,ll l,ll r){if(!(sum[x]-sum[y]))return 0;if(l==L&&r==R)return sum[x]-sum[y];ll mid=(L+R)>>1;if(r<=mid)return Ask(ls[x],ls[y],L,mid,l,r);if(l>mid)return Ask(rs[x],rs[y],mid+1,R,l,r);return Ask(ls[x],ls[y],L,mid,l,mid)+Ask(rs[x],rs[y],mid+1,R,mid+1,r);
}
int main()
{scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++){ll x;scanf("%lld",&x);rt[i]=Change(rt[i-1],1,inf,x);}scanf("%lld",&m);for(ll i=1;i<=m;i++){ll l,r,lim=0,at=0;scanf("%lld%lld",&l,&r);while(1){ll w=Ask(rt[r],rt[l-1],1,inf,lim+1,at+1);if(!w)break;lim=at+1;at+=w;}printf("%lld\n",at+1);}return 0;
}