Lucky Conins

题意

最多共$10$种硬币,所有的硬币之和不超过$100000$,每次将所有的硬币抛出,第$i$中硬币正面朝上的概率为$p_i$,将反面朝上的硬币移除掉.直至最后剩一种硬币或没有硬币则停止.若最后剩余一种硬币,则称这种硬币是幸运的,求每种硬币的幸运概率.

题解

推公式题.

假设我们要求第$i$种硬币成为幸运硬币的概率,那么我们可以求其在第$x$步成为幸运硬币的概率,然后对$x$求和即可.

计算硬币$i$在$x$步成为幸运硬币的概率:

一.第$i$种硬币,必须在第$x$步至少剩$1$个:

[1] : $Alive[i,x]=1-(1-p_i^x{)}^{c_i}$

硬币$i$在第$x$步存活:$p_i^x$,在第$x$步及之前死亡:$1-p_i^x$,第$i$种所有硬币在第$x$步都死亡$(1-p_i^x{)}^{c_i}$,第$i$种在第$x$步至少剩余一个硬币$1-(1-p_i^x{)}^{c_i}$

二. 第$j$种硬币,至少有一枚要在第$x-1$步存活,第$x$步死亡

先考虑对于第$j$种硬币,它至少有一枚硬币第$x-1$步存活,在第$x$步死亡的概率.

假设第$j$种有$t$枚硬币在第$x-1$步存活,在第$x$步死亡:

$C_{c_j}^t(p_j^{x-1}{)}^t(1-p_j^{x-1}{)}^{c_j-t}(1-p_j{)}^t=C_{c_j}^t(p_j^{x-1}-p_j^x{)}^t(1-p_j^{x-1}{)}^{c_j-t}$

对$t$从$1$到$c_j$求和,利用二项式定理我们得到了第$j$种硬币,它至少有一枚硬币第$x-1$步存活,在第$x$步死亡的概率:

[2] : $(1-p_j^x{)}^{c_j}-(1-p_j^{x-1}{)}^{c_j}$.

三.除第$i$种之外的所有硬币,至少有$1$枚在$x-1$步存活,在第$x$步死亡

为避免重复计算

设$j$是不与$i$相等的数中最小的.
我们考虑是第$j$种硬币起到了这个作用,那么$j$种以后的硬币只要满足在$x$步及之前死光即可.

然后再考虑是$j+t$种硬币起到了这个作用,那么$j+t$种以后的硬币只要满足在$x$步及之前死光即可,并且要满足第$j+t$种之前的硬币必须不能起作用(即在$x-1$步及之前就必须全部死光),否则会算重.

也就是说我们需要记录$lft[j,x]$表示$j$种之前的硬币全部在第$x-1$步及之前就死光.记录$rgt[j,x]$表示$j$种之后的硬币全都在第$x$步及之前就死光.
其中$lft[j,x]={\sum }_{t̸=i,t<j}(1-p_t^{x-1}{)}^{c_t}$,$rgt[j,x]={\sum }_{t̸=i,t>j}^n(1-p_t^x{)}^{c_t}$
那么这部分的答案就是

${\sum }_{j̸=i}((1-p_j^{x+1}{)}^{c_j}-(1-p_j^x{)}^{c_j})\ast lft[j,x]\ast rgt[j,x]$

四.最终公式

$(1-(1-p_i^x{)}^{c_i}){\sum }_{j̸=i}(((1-p_j^x{)}^{c_j}-(1-p_j^{x-1}{)}^{c_j})\ast lft[j,x]\ast rgt[j,x])$

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define pr(x) std::cout << #x << ':' << x << std::endl
#define rep(i,a,b) for(int i = a;i <= b;++i)double p[11];
int cnt[11];
int n;
const int lim = 50;
double fastpow(double x,int n) {double res = 1.0;while(n) {if(n&1) res *= x;x *= x;n >>= 1;	}return res;
}	double f(int id,int x) {return fastpow(1-fastpow(p[id],x),cnt[id]) - fastpow(1-fastpow(p[id],x-1),cnt[id]);
}double calc(int i) {double ans = 0;rep(x,1,lim) {double res = 1-fastpow(1-fastpow(p[i],x),cnt[i]);double tmp = 0,lft = 1;rep(j,1,n) {if(j == i) continue;double rgt = 1;rep(t,j+1,n) {if(i == t) continue;rgt *= fastpow(1-fastpow(p[t],x),cnt[t]);}tmp += f(j,x)*lft*rgt;lft *= fastpow(1-fastpow(p[j],x-1),cnt[j]);}ans += res * tmp;}return ans;
}
int main() {int T;std::cin >> T;while(T--) {std::cin >> n;rep(i,1,n) {std::cin >>	cnt[i] >> p[i];}if(n == 1) {printf("%.6f\n",1.0);continue;}rep(i,1,n) {if(i != 1) printf(" ");printf("%.6f",calc(i));}puts("");}return 0;
}