图像处理作业第7次

1.请根据课本中Z变换的定义，证明如下结论。

• (1)若$x(n)$的$Z$变换为$X(z)$，则$(-1{)}^{n}x(n)$的$Z$变换为$X(-z)$
  根据$Z$变换的定义 $X(z)=\sum x(n)z^{-n},\sum (-1{)}^{n}x(n)z^{-n}=\sum x(n)(-z{)}^{-n}=X(-z)$。

• (2)若$x(n)$的$Z$变换为$X(z)$，则$x(-n)$的$Z$变换为$X(\frac{1}{z})$
  根据$Z$变换的定义 $X(z)=\sum x(n)z^{-n},\sum x(-n)z^{-n}=\sum x(n)z^{-(-n)}=\sum x(n){(\frac{1}{z})}^{-n}=X(\frac{1}{z})$。

• (3)若$x(n)$的$Z$变换为$X(z)$，证明：$x_{down}(n)=x(2n)\leftrightarrow X_{down}(z)=1/2[X(z^{1/2})+X(-z^{1/2})]$
  根据$Z$变换的定义可知：$X_{down}(z)=\sum x_{down}(n)z^{-n}=\sum x(2n)z^{-n}=\sum 1/2[x(2n)(z^{1/2}{)}^{-2n}+x(2n)(-z^{1/2}{)}^{-2n}]=\sum 1/2[x(2n)(z^{1/2}{)}^{-2n}+x(2n)(-z^{1/2}{)}^{-2n}]+\sum 1/2[x(2n-1)(z^{1/2}{)}^{-(2n-1)}+x(2n-1)(-z^{1/2}{)}^{-(2n-1)}]=1/2[X(z^{1/2})+X(-z^{1/2})]$。

2.证明：

• 若$G_1(z)=-z^{-2k+1}{G}_0(-z^{-1})$,证明：$g_1(n)=(-1{)}^n{g}_0(2k-1-n)$

$-z^{2k+1}{G}_0(-z^{-1})\leftrightarrow \sum g_0(n)(-z^{-1}{)}^{-n}(-z^{-2k+1})=\sum g_0(n)(-1{)}^{n+1}{z}^{n-2k+1}$

令$-t=n-2k+1$

那么

$\sum g_0(n)(-1{)}^{n+1}{z}^{n+2k+1}=\sum g_0(2k-1-t)(-1{)}^{2k-t}{z}^{-t}$

将$t$换成$n$，得到：

$\sum (-1{)}^n{g}_0(2k-1-n)z^{-n}$

因此$g_1(n)=(-1{)}^n{g}_0(2k-1-n)$

3.假设课本中给出完美重建滤波器的正交族对应的三个滤波器间的关系式是正确的，并以此为基础，推导$h_0,h_1$的关系。

当满足如下式子时：

$g_1(n)=(-1{)}^n{g}_0(2k-1-n)$

hi(n)=gi(2k−1−n),i={0,1}h_i(n)=g_i(2k-1-n),i=\{0,1\}hi​(n)=gi​(2k−1−n),i={0,1}

$h_0(n)=g_0(2k-1-n)\to g_0(n)=h_0(2k-1-n)$

$h_1(n)=g_1(2k-1-n)=(-1{)}^{2k-1-n}{g}_0(2k-1-(2k-1-n))=(-1{)}^{n+1}{g}_0(n)=(-1{)}^{n+1}{h}_0(2k-1-n)$

是故

$h_1(n)=(-1{)}^{n+1}{h}_0(2k-1-n)$

4. 哈尔小波

截图显示：

$$\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cccccccccccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& -1& -1& -1& -1& -1& -1& -1& -1\\ \sqrt{2}& \sqrt{2}& \sqrt{2}& \sqrt{2}& -\sqrt{2}& -\sqrt{2}& -\sqrt{2}& -\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& \sqrt{2}& \sqrt{2}& \sqrt{2}& \sqrt{2}& -\sqrt{2}& -\sqrt{2}& -\sqrt{2}& -\sqrt{2}\\ 2& 2& -2& -2& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2& 2& -2& -2& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2& 2& -2& -2& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2& 2& -2& -2\\ 2\sqrt{2}& -2\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2\sqrt{2}& -2\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 2\sqrt{2}& -2\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2\sqrt{2}& -2\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2\sqrt{2}& -2\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2\sqrt{2}& -2\sqrt{2}& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2\sqrt{2}& -2\sqrt{2}& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 0& 2\sqrt{2}& -2\sqrt{2}\end{array}\right]$$