图像处理作业4

1. 第二版课本习题4.21

本质没有区别，只将图片放置在中心，而周围填充0的个数不变时，不会影响结果。因为本质都是进行了周期延拓，使得尾部的信息不会被丢弃掉。相当于滤波前将图像进行了平移。需要注意的是，滤波后得到的图像也会发生平移，裁剪的时候会产生区别。

2. 假设我们有一个[0，1]上的均匀分布随机数发生器U(0,1), 请基于它构造指数分布的随机数发生器，推导出随机数生成方程。若我们有一个标准正态分布的随机数发生器N(0,1)，请推导出对数正态分布的随机数生成方程。

(1) 解答

设指数分布的随机变量为$Y$，概率密度PDF表示为：$f(y)=\lambda e^{-\lambda y};y>0,\lambda >0,其CDF表示为G(y)$。
设均匀分随机变量为$X$。并且随机数生成方程$Y=g(X)$。

根据CDF的定义有：

G(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤g−1(y)}=g−1(y)G(y)=P\{Y \le y\} = P\{g(X) \le y\} = P\{X \le g^{-1}(y)\} = g^{-1}(y)G(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤g−1(y)}=g−1(y)

由此可知：$g(y)=G^{-1}(y)$，即$g(X)=G^{-1}(X)$

指数分布CDF为$G(y)={\int }_0^y\lambda e^{-\lambda x}dx=1-e^{-\lambda y}$

$G^{-1}(X)=-\frac{1}{\lambda }ln(1-X)$

因此 $Y=G^{-1}(X)=-\frac{1}{\lambda }ln(1-X);X$服从均匀分布。

(2) 解答

设标准正态分布的随机变量为$X$，对数正态分布的随机变量为$Y$，即是求$Y=g(X)$。

设标准正态分布的概率密度函数$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$

设对数分布的概率密度是$h(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{-(lny-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$

G(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤g−1(y)}=F(g−1(y))G(y) = P\{Y \le y\}=P\{g(X) \le y\}=P\{X \le g^{-1}(y)\}=F(g^{-1}(y))G(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤g−1(y)}=F(g−1(y))

${\int }_{-oo}^y\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{\frac{-(lnt-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt={\int }_{-oo}^{g^{-1}(y)}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-t^2/2}dt$

求导可得

$e^{\frac{-(lny-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}=\sigma e^{-{g^{-1}(y)}^2/2}\ast g^{-1^{\prime }}(y)$

继而

$g(y)=e^{\sigma y+\mu }$

$g(X)=e^{\sigma X+\mu }$,$X$服从均匀分布

3. 请证明第二版课本习题4.5中提及的频域内高通滤波器与低通滤波器的关系式子。

由于原图像$f(x,y)$由两部分构成，即高频部分和低频部分。
那么$f(x,y)=f_h(x,y)+f_l(x,y)$
可以认为高频部分是由高频滤波器对原图像进行滤波得到：
$f_h(x,y)=f(x,y)\ast H_{hp}(x,y)$
$f_l(x,y)=f(x,y)\ast H_{lp}(x,y)$
$f(x,y)=f_h(x,y)+f_l(x,y)=f(x,y)\ast H_{hp}(x,y)+f(x,y)\ast H_{lp}(x,y)$
进行傅立叶变换
$F(u,v)=F(u,v)H_{hp}(u,v)+F(u,v)H_{lp}(u,v)=F(u,v)(H_{hp}(u,v)+H_{lp}(u,v))$
可知
$H_{hp}(u,v)=1-H_{lp}(u,v)$

4.给出的逆谐波滤波回答下列问题

（a）解释为什么当Q是正值时滤波对去除“胡椒”噪声有效？

$Q>0$时对像素具有增强作用。而对于胡椒噪声来说，其灰度值较小，所以增强较小，所以对加权平均的结果影响较少。

（b）解释为什么当Q是负值时滤波对去除“盐”噪声有效？

$Q<0$时对像素具有削弱作用。而对于胡椒噪声来说，其灰度值较大，所以削弱较大，所以对加权平均的结果影响较少。