哈希学习笔记

hash学习笔记

1. 常用函数: $ hash[i] = \sum _{j=i} ^{len-1} {s[j]*X^{j-i}}, X ≥ |字符集| $ 取多个模，对于一个子串\(s[i]s[i+1]..s[j]\)的\(hash = hash[i] - hash[j+1]*X^{j-i+1}\)，预处理\(hash[i]\)以及\(X^i\)即可\(O(1)\)求出所有的子串hash值
2. 一般运用hash进行快速查找，状态压缩，其他hash相关：康托展开及逆展开，ELFhash

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Problem A

1. 题意：给定一字符串S，询问\(LCP(x,y)\)，即从x,y分别开始的最长公共前缀
2. 做法：二分最长公共前缀的长度L，\(O(1)\)判断两个串的\(hash\)是否相同

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define frep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
typedef unsigned long long ll;
const int N = 100007;
const ll base = 107;
using namespace std;
int n,q;
ll P[11][N], h[11][N], mod[11];
int cc;
char s[N];
void init_hash() {cc=0;mod[++cc] = 1e9+7;mod[++cc] = 1000007;mod[++cc] = 998244353;mod[++cc] = 100007;P[0][0]=1; rep(i,1,100) P[0][i]=P[0][i-1]*base;frep(i,n,1) h[0][i] = h[0][i+1]*base + s[i];rep(i,1,cc){P[i][0]=1;rep(j,1,100) P[i][j]=(P[i][j-1]*base)%mod[i];}rep(i,1,cc)frep(j,n,1)h[i][j] = ((h[i][j+1]*base)%mod[i]+s[j])%mod[i];
}
ll ask0(int x,int y) {if(x>y)swap(x,y);return h[0][x]-h[0][y+1]*P[0][y-x+1];
}
ll ask1(int x,int y,int z) {if(x>y)swap(x,y);return (h[z][x]%mod[z]-(h[z][y+1]*P[z][y-x+1])%mod[z]+mod[z])%mod[z];
}
int ck(int x,int y,int L) {if(ask0(x,x+L-1)!=ask0(y,y+L-1))return 0;rep(i,1,cc){if(ask1(x,x+L-1,i)!=ask1(y,y+L-1,i)) return 0;}return 1;
}
int solve(int x,int y) {int l=1,r=min(n-x+1,n-y+1),mid,ans=0;if(s[x]!=s[y])return 0;while(l<=r) {mid = (l+r)>>1;if(ck(x,y,mid))l=mid+1,ans=mid;else r=mid-1;}return ans;
}int main() {scanf(" %s",s+1);n=strlen(s+1);init_hash();scanf("%d",&q);while(q--) {int x,y;scanf("%d %d",&x,&y);printf("%d\n",solve(x,y));}return 0;
}

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Problem B

1. 题意：给定一字符串S，1）询问\(LCP(x,y)\)，即从x,y分别开始的最长公共前缀；2）修改位置x的字符为y
2. 做法1：线段树维护维护每个位置的hash[i]，修改操作相当于给区间[1,x]加上
   \[(y-s[x])*X^x,(y-s[x])*X^x-1,...(y-s[x])*X^0\]
   这一等比数列，查询就是单点查询，再用上一题的做法即可。区间加公比固定的等比数列
3. 做法2：线段树维护\(S[i]*X^i\)修改就是单点修改，查询\([i,j]\)区间和之后要除以\(X^i\),要预处理对应模数的逆元。代码回头补。

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Problem C [BZOJ1014]

1. 题意：给定一字符串S，1）询问\(LCP(x,y)\)，即从x,y分别开始的最长公共前缀；2）修改位置x的字符为y；3）在S的第x个字符后添加一个字符
2. 做法：splay每个节点维护size[i]：子树大小，hash[i]：以i为根节点的子树的hash值，\(hash[fa]=hash[lson]+s[fa]*X^{size[lson]}+hash[rson]*X^{size[lson]+1}\)，对于查询，每次把一个后缀旋转到一颗子树上，子树的根节点的hash值就是答案，对于修改，直接修改从这个点到根的路径上的hash值，对于插入，直接splay插入更新size和hash。代码等到学splay专题的时候我再努力写吧。

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Problem D [BZOJ3555]

1. 题意：n个长度为L的互不相同的字符串，求有多少对字符串互相相似。相似：如果两个字符串恰好有一个字符不同，则他们相似。n≤30000，L≤200，|字符集|≤64
2. 做法：预处理每个串前缀的hash值，枚举哪一位不同，排序计算贡献。关键是如何快速求出去除第i位的字符串的hash值。下面进行推导：
   对于字符串S, \(hash[i] = S[1]*X^{i-1} + S[2]*X^{i-2} + ... + S[i]\)
   除去S串的第\(x\)个字符的字符串\(Hash = (S[1]*X^{n-1} + S[2]*X^{n-2} + ... + S[x-1]*X^{n-x+1})+(S[x+1]*X^{n-x}+S[x+2]*X^{n-x-1}...+S[n])\\= hash[x-1]*X^{n-x+1} +(hash[n]-hash[x]*X^{n-x})\)

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define frep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
typedef unsigned long long ll;
const int N = 50100;
const ll base = 107;
using namespace std;
int n,q,L,X;
ll P[211], h[N][211],a[N];
char s[211];
ll cal(int s,int x) {return h[s][x-1]*P[L-x+1] +(h[s][L]-h[s][x]*P[L-x]);
}
int main() {scanf("%d%d%d",&n,&L,&X);P[0]=1;rep(i,1,L)P[i]=P[i-1]*base;rep(i,1,n) {scanf(" %s",s+1);rep(j,1,L) h[i][j]=h[i][j-1]*base+s[j];}int ans=0;rep(i,1,L){rep(j,1,n)a[j]=cal(j,i);sort(a+1,a+n+1);int tmp = 0;rep(j,2,n){if(a[j]!=a[j-1])tmp=0;else ++tmp;ans += tmp;}}printf("%d\n",ans);return 0;
}

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二维hash[BZOJ2462]

1. 题意：给定一个M行N列的01矩阵，以及Q个A行B列的01矩阵，你需要求出这Q个矩阵哪些在
   原矩阵中出现过。所谓01矩阵，就是矩阵中所有元素不是0就是1。
2. 做法：类似一维hash，先竖着hash，再横着hash，两次要用不同的base，查询子矩形方法类似于差分。
3. hints：本题要对矩阵的hash值二次取mod，用map会tle

#include <bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
typedef unsigned long long ll;
const int N = 1007;
const ll base1 = 107;
const ll base2 = 31;
const ll mod = 10000007;
using namespace std;
int n,m,a,b,q;
ll P1[N], P2[N], h[N][N];
bool vis[mod+1];
char mp[N][N];
void init_hash() {P1[0]=1; rep(i,1,100) P1[i]=P1[i-1]*base1;P2[0]=1; rep(i,1,100) P2[i]=P2[i-1]*base2;rep(i,1,n)rep(j,1,m) h[i][j] += h[i-1][j]*base1 + mp[i][j];rep(i,1,n)rep(j,1,m) h[i][j] += h[i][j-1]*base2;
}
ll ask(int x,int y,int xl,int yl) {return h[x][y]-h[x-xl][y]*P1[xl]-h[x][y-yl]*P2[yl]+h[x-xl][y-yl]*P1[xl]*P2[yl];
}
int main() {scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&a,&b);rep(i,1,n)scanf(" %s",mp[i]+1);init_hash();rep(i,a,n)rep(j,b,m) vis[ask(i,j,a,b)%mod]=1;scanf("%d",&q);while(q--) {rep(i,1,a)scanf(" %s",mp[i]+1);memset(h,0,sizeof(h));rep(i,1,a)rep(j,1,b)h[i][j]+=h[i-1][j]*base1+mp[i][j];rep(i,1,a)rep(j,1,b)h[i][j]+=h[i][j-1]*base2;printf("%d\n",vis[h[a][b]%mod]);}return 0;
}