正题

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题目大意

定义

• $v(n)$表示$\le n$的最大整数
• $u(n)$表示$>n$的最小整数

求$$\sum _{i=2}^n\frac{1}{v(i)u(i)}$$

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解题思路

有式子$\frac{b-a}{ab}=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}$，然后原式子就是$$\frac{1}{2\ast 3}+\frac{1}{3\ast 5}+\frac{1}{5\ast 7}+...$$
我们让式子中间的乘上一个$2$
$$\frac{1}{2\ast 3}+\frac{1}{3\ast 5}+\frac{1}{3\ast 5}+\frac{1}{5\ast 7}++...$$
$$\frac{5-2}{2\ast 3}+\frac{5-3}{3\ast 5}+...$$
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...$$
所以最后答案就是$$\frac{1}{2}-\frac{v(n)+u(n)-n-1}{v(n)u(n)}$$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll T,n;
bool notprime(ll n){for(ll i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0)return 1;return 0;
}
int main()
{scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld",&n);if(n==1){printf("0/1\n");continue;}ll up=n,dn=n+1;while(notprime(++up));while(notprime(--dn));ll a=up*dn-2*(up+dn-n-1),b=up*dn*2,k=__gcd(a,b);printf("%lld/%lld\n",a/k,b/k);}
}