出题人来报个到

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6860

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题目大意

$p(a,b)=1$当且经当一只走$a\ast b$矩形的马可以走到棋盘上任何一个点
求$$\sum _{a=1}^n\sum _{b=1}^{n}p(a,b)$$

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解题思路

这个马能走到全图的充要条件显然是它能走到$(0,1)$。考虑给出$(a,b)$求它能否走到$(0,1)$

首先如果$gcd(x,y)\ne 1$显然不行

因为走的顺序无所谓将走的路程分成两段，一段是$(x\pm a,y\pm b)$，一段是$(x\pm b,y\pm b)$。

显然对于第一段能走到的点可以表示为$(2ax,2ay)$或$(2ax+x,2ay+y)$。第二段同理。

$$\{\begin{array}{c}2ax=2by\\ 2cy=2dx+1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}2ax+x=2by\\ 2cy+y=2dx+1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}2ax=2by+y\\ 2cy=2dx+x+1\end{array}$$

$$\{\begin{array}{c}2ax+x=2by+y\\ 2cy+y=2dx+x+1\end{array}$$

第一个我们有$2(ax-by)=0$且$2(cy-dx)=1$。因为$x,y$互质显然$(ax-by)$和$(cy-dx)$都可以表示成任意整数。所有就有$2k=0$且$2k=1$，显然无解。

同理第二个可以推出$2k+x=0$且$2k+y=1$，就是$x$是偶数，$y$是奇数

第三个推出$2k-y=0$且$2k-x=1$，就是$x$是奇数，$y$是偶数

第四个是$2k+x-y=0$且$2k+y-x=1$，显然无解

也就是如果$x+y$是奇数，且$gcd(x,y)=1$那么有$p(x,y)=1$，直接可以计算答案，时间复杂度$O(n^2)$

定义$w(x)$表示$1\sim x$中与它互质且不是同奇偶的数的个数。若$x$是一个偶数，那么显然没有偶数和它互质那么有$w(x)=\phi (x)$，若$x$是奇数，那么对于每个偶数$y$和它互质也一定有一个对应的奇数$x-y$和它互质，那么有$w(x)=\frac{\phi (x)}{2}$。然后求和可以计算答案，时间复杂度$O(n)$

考虑如何用杜教筛优化，我们可以将问题转换为分开求奇数和偶数的$\phi$和，对于每个偶数一定可以被表示为$2k(k\le \frac{n}{2})$，那么如何$k$是偶数就有$\phi (2k)=\phi (k)$，如果$k$是奇数就有$\phi (2k)=2\ast \phi (k)$，也就是如果求出$1\sim \frac{n}{2}$的奇偶的$\phi$和就可以求出偶数的$\phi$和，然后杜教筛减去求出奇数的，这是一个分治的过程，可以通过本题。

时间复杂度$O(n^{\frac{2}{3}}\log n)$

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$code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define ll unsigned long long
using namespace std;
const ll N=1e7+1;
ll T,n,cnt,mu[N],phi[N],pri[N];
ll sp1[N],sp2[N],p1[1100],p2[1100];
bool vis[N];
map<ll,ll> sp,sm; 
void prime(){phi[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++){if(!vis[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;for(ll j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<N;j++){vis[pri[j]*i]=1;if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}phi[i*pri[j]]=phi[pri[j]]*phi[i];}}for(ll i=1;i<N;i++){sp1[i]=sp1[i-1]+phi[i]*(i&1);sp2[i]=sp2[i-1]+phi[i]*(!(i&1));}return;
}
ll GetSphi(ll n){if(n<N)return sp1[n]+sp2[n];if(sp[n])return sp[n];ll rest=(n%2ull==0ull)?((ll)n/2ull*(n+1ull)):((ll)(n+1ull)/2ull*n);for(ll l=2ull,r;l<=n;l=r+1ull)r=n/(n/l),rest-=(r-l+1ull)*GetSphi(n/l);return (sp[n]=rest);
}
void dfs(ll x,ll n){p1[x]=p2[x]=0;if(n<N){p1[x]=sp1[n];p2[x]=sp2[n];return;}dfs(x+1,n/2);p2[x]+=p1[x+1]+p2[x+1]*2ull; p1[x]+=GetSphi(n)-p2[x];return;
}
int main()
{prime();scanf("%llu",&T);while(T--){scanf("%llu",&n);dfs(0,n);printf("%llu\n",p1[0]+p2[0]*2ull-1ull);}
}