正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4505

---

题目大意

给出$n$个点和$n-1$个点集$U_i$，每个点集中选择两个点连边使得该图是一棵树。求方案。

$n\in [1,10^5],{\sum }_{i=1}^{n-1}|U_i|\in [1,2\ast 10^5]$

---

解题思路

冬令营上讲的题目，现在来写。（而且好像我记得课上讲的做法是$bitset$的，还是时间久了我记岔了？）

第一眼看上去直觉像是$hall$定理但还是不会。

hall定理：$2\ast n$个点的二分图匹配，如果满足任意$k$个点都连接了不少于$k$个点的话，那么这张图就有完全匹配。

先套一下试试，发现满足条件的图对于它的每个子图$S$满足该子图是一个森林。

换句话说对于任意一个$U$的集合$T$，$G(T)$表示选出的边连接的节点个数，那么一定有$G(T)\ge |T|+1$

回顾一下$hall$定理发现是不是很像。

可以先给每个点集选出一个各不同的点（也就是跑一次匹配），如果选不出来那么显然无解。

然后考虑另一个点的选择，从没有被选择的那个点入手，这个点可以选择任何一个包含它的点集连接出去，然后就从下一个点集开始，直到回溯回来选择下一个。如果最后能够遍历所有点就是合法的。

考虑一下正确性，如果它不能遍历所有点那么没有被遍历的点集$T$无论怎么连接外面，就一定有一个环不满足$G(T)\ge |T|+1$。如果它能遍历所有点，那么我们已经构造出一个方案，显然合法。

时间复杂度$O({\sum }_{i=1}^{n-1}|E|\sqrt{n}+n)$

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=4e5+10,inf=1e9;
struct node{int to,next,w;
}a[N*2];
int n,s,t,tot=1,cnt,ans;
int ls[N],p[N],b[N],dep[N],cur[N];
queue<int> q;bool v[N];
void addl(int x,int y,int w){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;a[++tot].to=x;a[tot].next=ls[y];ls[y]=tot;a[tot].w=0;return;
}
bool bfs(){for(int i=1;i<=t;i++)cur[i]=ls[i],dep[i]=0;while(!q.empty())q.pop();q.push(s);dep[s]=1;while(!q.empty()){int x=q.front();q.pop();for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(dep[y]||!a[i].w)continue;dep[y]=dep[x]+1;if(y==t)return 1;q.push(y);}}return 0;
}
int dinic(int x,int flow){if(x==t)return flow;int rest=0,k;for(int &i=cur[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(dep[x]+1!=dep[y]||!a[i].w)continue;rest+=(k=dinic(y,min(a[i].w,flow-rest)));a[i].w-=k;a[i^1].w+=k;if(rest==flow)return rest;}if(!rest)dep[x]=0;return rest;
}
void dfs(int x){cnt++;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(v[y])continue;b[y]=x;v[y]=1;dfs(p[y]);}
}
int main()
{scanf("%d",&n);s=2*n;t=s+1;for(int i=1;i<n;i++){int m;scanf("%d",&m);for(int j=1;j<=m;j++){int x;scanf("%d",&x);addl(x,i+n,1);}}for(int i=1;i<=n;i++)addl(s,i,1);for(int i=1;i<n;i++)addl(i+n,t,1);while(bfs())ans+=dinic(s,inf);if(ans<n-1)return puts("-1")&0;for(int x=n+1;x<s;x++)for(int i=ls[x];i;i=a[i].next)if(a[i].w){p[x]=a[i].to;break;}v[s]=1;for(int i=ls[s];i;i=a[i].next)if(a[i].w)dfs(a[i].to);if(cnt<n)return puts("-1")&0;for(int x=n+1;x<s;x++)printf("%d %d\n",p[x],b[x]);return 0;
}