正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/problem/643

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题目大意

$n$个机器人，第$i$个攻击力为$A_i$，防御为$D_i$。
然后你每次可以对一个机器人造成$Atk$点伤害，之后所有机器人对你进行一次攻击。

开局可以删除两个机器人，求最少受到多少伤害。

$n\in [3,3\times 10^5],A_i,T_i\in [1,10^4]$

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解题思路

设每个机器人需要攻击的次数$T_i$
先不考虑删除的话是一个很经典的贪心，按照$\frac{T_i}{A_i}$从小到大排序就好了。证明的话

设目前是排序好的序列，是否交换相邻的两个$i,j(j>i)$需要满足
$$T_i{A}_j\ge T_j{A}_i$$
化简一下就可以发现一定不合法

然后考虑删除哪两个，设$S{t}_i={\sum }_{j=1}^i{T}_i,S{a}_i={\sum }_{j=1}^n{A}_i$，那么删除一个$x$会减少贡献
$$b_x=(S{a}_n-S{a}_x)T_x+S{t}_x{A}_x-A_x$$
（分别计算自己减去的和自己对后面的数产生的贡献）。

但是如果删除了两个数$x,y(x<y)$就会多减去$T_x{A}_y$的贡献。

所以我们要求max⁡{bx+by−TxAy}(x<y)\max\{ b_x+b_y-T_xA_y \} (x<y)max{bx​+by​−Tx​Ay​}(x<y)
这个因为值域比较小直接上李超树就好了，当然也可以$CDQ$分治或者$Splay$搞斜率优化

时间复杂度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=3e5+10;
struct node{ll b,k;
};
ll n,atk,sum,ans,maxs,lim;
ll p[N],a[N],t[N],st[N],sa[N],b[N],w[N];
bool cmp(ll x,ll y)
{return t[x]*a[y]<t[y]*a[x];}
ll ct(ll x,ll id)
{return t[p[id]]*x+b[id];}
void Change(ll x,ll l,ll r,ll id){if(ct(l,id)>=ct(l,w[x])&&ct(r,id)>=ct(l,w[x])){w[x]=id;return;}if(ct(l,id)<=ct(l,w[x])&&ct(r,id)<=ct(r,w[x]))return;if(l==r)return;ll mid=(l+r)>>1;if(t[p[id]]<t[p[w[x]]]){if(ct(mid,id)>=ct(mid,w[x]))Change(x*2+1,mid+1,r,w[x]),w[x]=id;Change(x*2,l,mid,id);}else{if(ct(mid,id)>=ct(mid,w[x]))Change(x*2,l,mid,w[x]),w[x]=id;Change(x*2+1,mid+1,r,id);}return;
}
ll Ask(ll x,ll l,ll r,ll pos){if(l==r)return ct(pos,w[x]);ll mid=(l+r)>>1,ans;if(pos<=mid)ans=Ask(x*2,l,mid,pos);else ans=Ask(x*2+1,mid+1,r,pos);return max(ans,ct(pos,w[x]));
}
signed main()
{freopen("fittest.in","r",stdin);freopen("fittest.out","w",stdout);scanf("%lld%lld",&n,&atk);for(ll i=1;i<=n;i++){scanf("%lld%lld",&a[i],&t[i]);t[i]=(t[i]+atk-1)/atk;p[i]=i;sum+=a[i];lim=max(max(a[i],t[i]),lim);}sort(p+1,p+1+n,cmp);b[0]=-1e18;for(ll i=1;i<=n;i++){ll x=p[i];st[i]=st[i-1]+t[x];sa[i]=sa[i-1]+a[x];b[i]=(sum-sa[i])*t[x]+st[i]*a[x]-a[x];ans+=st[i]*a[x]-a[x];}for(ll i=1;i<=n;i++){int x=p[i];ll tmp=b[i]+Ask(1,1,lim,a[x]);maxs=max(maxs,tmp);t[x]=-t[x];Change(1,1,lim,i);}printf("%lld\n",ans-maxs);return 0;
}