正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT3957

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题目大意

$n$个节点的一棵树，每个节点有$0/1$。每次删除一个根节点，然后把该节点的值填入序列，求最终序列的最小逆序对数量。

$n\le 2\times 10^5$

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解题思路

考虑一种贪心，开始每个节点作为一个单独的联通块，每次选择一个节点把它和它父节点的联通快合并并且它的联通快排在它父节点的后面。

显然这样的选择可以构成所有可能的序列，现在需要考虑选择顺序。设$cn{t}_{x,0/1}$表示联通块$x$的$0/1$数量。

那么一个节点的两个子节点两个联通块$x,y$的顺序，$x$排在$y$前面就会产生$cn{t}_{x,1}\times cn{t}_{y,0}$的贡献，所以如果$x$排在$y$前面那么有
$$cn{t}_{x,1}\times cn{t}_{y,0}\le cn{t}_{y,1}\times cn{t}_{x,0}$$
化一下就是按照$\frac{cn{t}_{x,1}}{cn{t}_{x,0}}$从小到大选就好了。维护一个堆即可。

时间复杂度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,f[N],fa[N],cnt[N][2];
long long ans;
struct node{int x,w0,w1;node(int xx=0){x=xx;w0=cnt[xx][0];w1=cnt[xx][1];return;}
};
bool operator<(node x,node y)
{return 1ll*x.w1*y.w0>1ll*x.w0*y.w1;}
priority_queue<node> q;
int find(int x)
{return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=2;i<=n;i++)scanf("%d",&f[i]);for(int i=1;i<=n;i++){int x;scanf("%d",&x);cnt[i][x]++;fa[i]=i;if(i>1)q.push(node(i));}while(!q.empty()){node w=q.top();q.pop();int x=find(w.x);if(fa[x]!=x)continue;if(cnt[x][0]!=w.w0)continue;if(cnt[x][1]!=w.w1)continue;int y=find(f[x]);fa[x]=y;ans+=1ll*cnt[y][1]*cnt[x][0];cnt[y][0]+=cnt[x][0];cnt[y][1]+=cnt[x][1];if(y)q.push(node(y));}printf("%lld\n",ans);return 0;
}