正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/114/problem/1

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题目大意

给出$n$个点$m$条边的一张无向图，对于每个点$i$求不经过$i\sim 1$的最短路的第一条边的情况下$i$到$1$的最短路

数据保证这条边唯一

$n\in [1,10^5],m\in [1,2\times 10^5],c\in [1,10^3]$

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解题思路

因为保证的那个东西，所以图的最短路树真的是一棵树了，所以先跑出最短路树考虑在最短路树上面搞。

然后题目限制了我们不能从树上的祖先那条边过来，这样就分为了两种情况。一种是从该点的子树外面连过来的边，另一种是从子树中走上来的边。第二种很麻烦，因为子树的最短路是用该节点的最短路扩展的，所以不能直接使用。

考虑一条非树边$(x,y)$，这条边会扩展一条$di{s}_y+w$到$x$的路径。（$di{s}_x$表示$1\sim x$的最短路）。

并且这条边可以使用到$LCA(x,y)$处，此时$x$的祖先们都不包含$y$在子树内，可以直接用$y$的子树扩展。

所以可以维护一个左偏树，每次合并两个儿子的信息，如果堆顶的边需要被删除就删除。需要写一个$lazy$标记来修改整棵树

时间复杂度$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
const int N=4e5+10;
struct point{int val,x,y;point(int v=0,int xx=0,int yy=0){val=v;x=xx;y=yy;return;}
};
bool operator<(point x,point y)
{return x.val<y.val;}
struct Heap{point val[N];int t[N][2],lazy[N],dis[N];void Downdata(int x){if(!lazy[x])return;int ls=t[x][0],rs=t[x][1];lazy[ls]+=lazy[x];lazy[rs]+=lazy[x];val[ls].val+=lazy[x];val[rs].val+=lazy[x];lazy[x]=0;return;}int Merge(int x,int y){Downdata(x);Downdata(y);if(!x||!y)return x+y;if(val[y]<val[x])swap(x,y);int &ls=t[x][0],&rs=t[x][1];rs=Merge(rs,y);if(dis[rs]>dis[ls])swap(ls,rs);dis[x]=dis[rs]+1;return x;}int Del(int x){int &ls=t[x][0],&rs=t[x][1];val[x]=0;return Merge(ls,rs);}
}T;
struct node{int to,next,w;
}a[N];
int n,m,tot,cnt,num,ls[N],f[N];
int rfn[N],p[N],ans[N];
bool v[N];vector<int> G[N];
priority_queue<pair<int,int> >q;
void addl(int x,int y,int w){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;a[tot].w=w;return;
}
void dij(){memset(f,0x3f,sizeof(f));q.push(mp(0,1));f[1]=0;while(!q.empty()){int x=q.top().second;q.pop();if(v[x])continue;v[x]=1;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(f[x]+a[i].w<f[y]){f[y]=f[x]+a[i].w;q.push(mp(-f[y],y));}}}return;
}
void dfs(int x){rfn[x]=++cnt;for(int i=0;i<G[x].size();i++){int y=G[x][i];dfs(y);T.val[p[y]].val+=f[y]-f[x];T.lazy[p[y]]+=f[y]-f[x];p[x]=T.Merge(p[x],p[y]);}for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(f[x]+a[i].w==f[y])continue;if(f[y]+a[i].w==f[x])continue;T.val[++num]=point(f[y]+a[i].w,x,y);p[x]=T.Merge(p[x],num);}while(1){if(!p[x]){ans[x]=-1;break;}point w=T.val[p[x]];if(rfn[w.y]>=rfn[x]){p[x]=T.Del(p[x]);continue;}ans[x]=w.val;break;}return;
}
int main()
{freopen("pal.in","r",stdin);freopen("pal.out","w",stdout);scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,w;scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);addl(x,y,w);addl(y,x,w);}dij();for(int x=1;x<=n;x++)for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(f[x]+a[i].w==f[y])G[x].push_back(y);}dfs(1);for(int i=2;i<=n;i++)if(!ans[i])puts("-1");else printf("%d\n",ans[i]);return 0;
}