正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/113/problem/2

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题目大意

一个空序列，每次往末尾加入一个$[1,m]$中的随机一个数。如果末尾两个数相同都为$x$且$(x<t)$，那么将它们合并成$x+1$。

如果序列长度为$n$且无法合并则结束，求序列期望和。

$n,m\in [1,10^3],t\in [1,10^9]$

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解题思路

首先显然地t=min{n+m−1,t}t=min\{n+m-1,t\}t=min{n+m−1,t}。

之后考虑序列中的每一个位置可能的数，因为每种情况都有可能，所以我们需要算概率先，设$p_{i,j}$表示剩余$i$个位置时出现$j$的概率，那么有$p_{i,j}=\frac{1}{m}\times [j\le m]+p_{i,j-1}^2$（直接出现或者合并出来）。

设$p_{i,j}\times q_{i,j}$表示剩下$i$个位置且第一个最终是$j$的概率，那么有$q_{i,j}=1-p_{i-1,j}\times [j<t]$（$q_{i,j}$就表示在出现了$j$的前提下不变的概率，减去会变的概率就好了）。

但是因为每个位置的概率不是独立的，所以不能直接用这个来算答案。

设$p_{i,j}\times g_{i,j}$表示在剩下$i$个位置且第一个最终是$j$时和的期望和（注意期望=概率*次数），$p_{i,j}\times f_{i,j}$表示剩下$i$个位置时第一个出现过$j$的情况的期望和，$an{s}_i$表示剩下$i$个位置时的期望和。

那么有
$$an{s}_i=\sum _{j=1}^t{p}_{i,j}\times g_{i,j}$$

考虑$g$的递推式有
$$g_{i,j}=q_{i,j}\times j+an{s}_{i-1}-p_{i-1,j}\times f_{i-1,j}$$
（有$q_{i,j}$的概率最终是$j$，填完剩下的，且下一个不能出现$j$）
考虑$f$的递推式有
$$f_{i,j}=g_{i,j}+(1-q_{i,j})f_{i,j+1}$$
（第一种是最终不变，第二种是变成了$j+1$的情况）

这样就可以递推了，时间复杂度$O(n^2)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2100,P=1e9+7;
ll n,m,t,p[N][N],q[N][N],g[N][N],f[N][N],ans[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
signed main()
{freopen("sequence.in","r",stdin);freopen("sequence.out","w",stdout);scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&t);ll inv=power(m,P-2);t=min(t,n+m-1);for(ll i=1;i<=n;i++)for(ll j=1;j<=t;j++){p[i][j]=(inv*(j<=m)+p[i-1][j-1]*p[i][j-1]%P)%P;q[i][j]=(1-(j<t)*p[i-1][j]+P)%P;}for(ll i=1;i<=n;i++){for(ll j=t;j>=1;j--){if(j!=t)g[i][j]=(q[i][j]*j%P+ans[i-1]-f[i-1][j]*p[i-1][j]%P+P)%P;elseg[i][j]=(q[i][j]*j%P+ans[i-1])%P;f[i][j]=(g[i][j]%P+(1-q[i][j])*f[i][j+1]%P)%P;(ans[i]+=g[i][j]*p[i][j])%=P;}}printf("%lld\n",ans[n]);return 0;
}