正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT4995

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题目大意

$n$个点的一棵树，上面有一些棋子，每次可以选择两个棋子移动到他们之间的路径上相邻的点上，求最少多少步能移动到一个点上。

$n\in [1,2000]$

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解题思路

如果固定最终节点的话，这个节点$rt$可行的话那么答案一定是$\frac{\sum dis(rt,x)}{2}$。

那么现在就转变为一个判定性问题，我们现在的操作变为了每次选择两个没有祖先关系的点，然后将它们往它们的$LCA$处移动一格。

同样的，我们发现如果我们在处理一个点$x$作为$LCA$时，我只会关心所有节点来自它的哪个儿子而不用考虑具体的位置。所以可以搞树形$dp$。

设$f_x$表示$x$的子树内最多的移动次数，定义$s_x={\sum }_{y\in subtree(x)}dis(x,y)$的话，那么我们的转移和max{sy}(x−>y)max\{s_y\}(x->y)max{sy​}(x−>y)有关。

若max{sy}×2≤sxmax\{s_y\}\times 2\leq s_xmax{sy​}×2≤sx​，那么这里面的节点可以两两配对，$f_x=\frac{s_x}{2}$。

否则他$s$最大的子树$y$之中会有剩余的节点无法相互匹配，那么有fx=sx−sy+min{fy,sy−⌊sx2⌋}f_x=s_x-s_y+min\{f_y,s_y-\lfloor\frac{s_x}{2}\rfloor\}fx​=sx​−sy​+min{fy​,sy​−⌊2sx​​⌋}

然后如果$f_x=\frac{s_x}{2}$那么$x$就是可行的答案

时间复杂度$O(n^2)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2100;
struct node{int to,next;
}a[N<<1];
int n,tot,ls[N],s[N],w[N],f[N],ans;
char v[N];
void addl(int x,int y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dp(int x,int fa){s[x]=w[x]=0;int mx=0,son=0;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa)continue;dp(y,x);w[x]+=w[y];s[x]+=s[y]+w[y];if(s[y]+w[y]>mx)mx=s[y]+w[y],son=y;}if(mx*2>s[x])f[x]=s[x]-mx+min(f[son],mx-s[x]/2);else f[x]=s[x]/2;w[x]+=(v[x]=='1');return;
}
int main()
{scanf("%d",&n);scanf("%s",v+1);for(int i=1;i<n;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}ans=1e9;for(int i=1;i<=n;i++){dp(i,i);if(s[i]&1)continue;if(f[i]==s[i]/2)ans=min(ans,f[i]);}if(ans==1e9)puts("-1");else printf("%d\n",ans);return 0;
}