ARC106——E - Medals

E - Medals

~~首先看到这题看不出是一个匹配的题~~大佬题解

把每一个工人和每一天看成一个二分图，如果某个工人在某天工作，那么两者存在边，现在问题转化成至少需要多少天，能够把 $n$ 个工人全部匹配 $k$ 次

显然天数可以二分，然后问题转化成判断 $1→mid1\to mid$ 天是否能够让工人完全匹配，然后就需要用到霍尔定理。

Hall 定理：二分图存在最大完备匹配的充要条件是与某一侧的任意 $k$ 个点相连的另一侧的节点 $≥k\ge k$ 个。

按照霍尔定理枚举每一个集合，假设该集合中我们任意选择了 $i$ 个工人，那么至少有 $k \times i$ 天与之匹配，那么这 $i$ 个工人工作天并集的天数 $≥k×i\ge k×i$ 。显然不容易求 $i$ 个工人工作天的并集的天数，于是考虑补集转化，我们可以求出有哪些天没有所选工人集合的元素，然后用总天数减去即可。

代码：

预处理某天有哪些工人能够工作，状态压缩！
预处理二进制中1的个数表示选择的集合有多少人
二分中cnt[]数组表示一个桶，cnt[i]表示选择工人集合是i（i看成一个二进制数）的子集天数和

#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie();cout.tie(0)
#pragma GCC optimize(2)
#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<random>
#include<bitset>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int mod=1e9+7;
const int N=19,K=100010,M=3*N*K;
int work[M];
int n,k,a[N];
int one[1<<N],cnt[1<<N];
bool check(int mid)
{memset(cnt,0,sizeof cnt);for(int i=1;i<=mid;i++) cnt[work[i]]++;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<1<<n;j++)if(j>>i&1) cnt[j]+=cnt[j^(1<<i)];for(int i=0;i<1<<n;i++)if(one[i]*k>mid-cnt[(1<<n)-1-i]) return 0;return 1;
}
int main()
{IO;int T=1;//cin>>T;while(T--){cin>>n>>k;int m=n*k*3;for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i];for(int i=0;i<n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)if(((j-1)/a[i]&1)==0) work[j]|=1<<i;for(int i=1;i<1<<n;i++) one[i]=one[i>>1]+(i&1);//初始化1的个数int l=n*k,r=m;while(l<r){int mid=l+r>>1;if(check(mid)) r=mid;else l=mid+1;}cout<<l<<'\n';}return 0;
}