正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P2150

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题目大意

将$2\sim n$选出一些分成两个集合，要求这两个集合中没有一对数不是互质的。求方案数对$p$取模

$2\le n\le 500,1\le p\le 10^{10}$

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解题思路

数据小的情况我们可以把所有质数拿出来状压，但是这里$500$质数还是很多的，所以我们不能直接这么搞。

平时我们质因数分解能够发现$n$分解后最多只有一个$>\sqrt{n}$的质因子。这里$\sqrt{n}$以内的质数只有$8$个好像可以搞。

枚举一个大于$8$的质数$x$，对于所有包含这个质因子的数两个集合中只能有一个存在，然后前$8$个状压，设$f_{i,j}$分别表示两个集合中的前$8$个质数拥有的集合。显然转移的时候只需要满足$i\&j=0$即可。

然后对于拥有同一个大质数的所有数字只能有一个集合选择，$f{0}_{i,j}$表示第一个集合选，$f{1}_{i,j}$表示第二个集合选，然后做完之后$f_{i,j}=f{0}_{i,j}+f{1}_{i,j}-f_{i,j}$就好了。

时间复杂度$O(n{2}^{8^2})$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=510,M=256;
ll pri[8]={2,3,5,7,11,13,17,19};
ll n,P,s[N],f[M][M],f0[M][M],f1[M][M],ans;
vector<int>p[N];
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&P);for(ll i=2;i<=n;i++){ll x=i;for(ll j=0;j<8;j++)if(x%pri[j]==0){s[i]|=(1<<j);while(x%pri[j]==0)x/=pri[j];}p[x].push_back(i);}f[0][0]=1;for(ll x=1;x<=500;x++){if(!p[x].size())continue; for(ll y=0;y<p[x].size();y++){if(y==0||x==1){memcpy(f0,f,sizeof(f0));memcpy(f1,f,sizeof(f1));}ll c=p[x][y];for(ll i=255;i>=0;i--)for(ll j=255;j>=0;j--){if(i&j)continue;if(!(s[c]&j))(f0[i|s[c]][j]+=f0[i][j])%=P;if(!(s[c]&i))(f1[i][j|s[c]]+=f1[i][j])%=P;}if(y!=p[x].size()-1&&x!=1)continue;for(ll i=0;i<256;i++)for(ll j=0;j<256;j++)f[i][j]=(f0[i][j]+f1[i][j]-f[i][j])%P;}}for(ll i=0;i<256;i++)for(ll j=0;j<256;j++)(ans+=f[i][j])%=P;printf("%lld\n",(ans+P)%P);return 0;
}