正题

题目链接:http://www.ybtoj.com.cn/contest/121/problem/2

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题目大意

给出$n$个点的一棵树，每个点有一个权值$a_i$，求
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}dis(i,j)\times \phi (a_i\times a_j)$$

$2\le n\le 2\times 10^5$，$a$恰好是一个排列。

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解题思路

一个十分显然的结论就是$\phi (x\times y)=\phi (x)\times \phi (y)\times \frac{gcd(x,y)}{\phi (gcd(x,y))}$。（相同的质因子只保留一个数$p-1$的就好了）

然后顺便把点编号换一下使得$a_i=i$再枚举约数就是
$$\sum _{d=1}^n\frac{\phi (d)}{d}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}dis(i,j)\phi (i)\phi (j)\times [gcd(i,j)=d]$$
然后就可以莫反了，定义
$$g_d=\sum _{d|i}^n\sum _{d|j}^{n}dis(i,j)\phi (i)\phi (j)$$
$$g_d=\sum _{d|i}^n\sum _{d|j}^n(de{p}_i+de{p}_j-2de{p}_{lca(i,j)})\phi (i)\phi (j)$$
$$g_d=2\sum _{d|i}^{n}de{p}_i\phi (i)\sum _{d|j}^n\phi (j)-2\sum _{k=1}^n\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n[lca(i,j)=k]de{p}_k\phi (i)\phi (j)$$
把所有$d$倍的点加入虚树，然后用树形$dp$计算后面那个东西，前面那个可以直接算。

然后答案就是
$$\sum _{d=1}^n\frac{\phi (d)}{d}\sum _{d|i}{g}_i$$

时间复杂度$O(n{\log }^{2}n)$，有点卡常。

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#define ll long long
#pragma GCC optimize(2)
%:pragma GCC optimize(3)
%:pragma GCC optimize("Ofast")
%:pragma GCC optimize("inline")
using namespace std;
const int N=4e5+10,T=20,P=1e9+7;
int read() {int x=0,f=1; char c=getchar();while(!isdigit(c)) {if(c=='-')f=-f;c=getchar();}while(isdigit(c)) x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();return x*f;
}
struct node{int to,next;
}a[N<<1];
int n,m,tot,top,dfc,ls[N],rfl[N];
int mu[N],phi[N],pri[N],prn,s[N],p[N];
int stn,lg[N],wz[N],rfn[N],dep[N],f[N][T];
ll S[N],dp[N],g[N],ans;bool v[N],mark[N];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void prime(){mu[1]=phi[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++){if(!v[i])pri[++prn]=i,phi[i]=i-1,mu[i]=-1;for(int j=1;j<=prn&&i*pri[j]<=n;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);mu[i*pri[j]]=-mu[i];}}return;
}
void addl(int x,int y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
bool cmp(int x,int y)
{return rfn[x]<rfn[y];}
void dfs(int x,int fa){dep[x]=dep[fa]+1;rfn[x]=++dfc;f[++stn][0]=x;wz[x]=stn;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);f[++stn][0]=x;}return;
}
int LCA(int l,int r){l=wz[l];r=wz[r];if(l>r)swap(l,r);int z=lg[r-l+1],x=f[l][z],y=f[r-(1<<z)+1][z];return dep[x]<dep[y]?x:y;
}
void Ins(int x){if(!top){s[++top]=x;return;}int lca=LCA(x,s[top]);while(top>1&&dep[s[top-1]]>dep[lca])addl(s[top-1],s[top]),top--;if(dep[s[top]]>dep[lca])addl(lca,s[top]),top--;if((!top)||s[top]!=lca)s[++top]=lca;s[++top]=x;return;
}
void calc(int x,ll &ans){if(mark[x])S[x]=phi[x],dp[x]=1ll*phi[x]*phi[x]%P;else S[x]=dp[x]=0;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;calc(y,ans);(dp[x]+=S[x]*S[y]*2ll%P)%=P;S[x]=(S[x]+S[y])%P;}(ans+=P-1ll*dp[x]*dep[x]%P)%=P;ls[x]=mark[x]=0;return;
}
signed main()
{freopen("sm.in","r",stdin);freopen("sm.out","w",stdout);n=read();prime();for(int i=1;i<=n;i++){int x=read();rfl[i]=x;}for(int i=1;i<n;i++){int x=read(),y=read();x=rfl[x];y=rfl[y];addl(x,y);addl(y,x);}dfs(1,1);for(int j=1;(1<<j)<=stn;j++)for(int i=1;i+(1<<j)-1<=stn;i++){int x=f[i][j-1],y=f[i+(1<<j-1)][j-1];f[i][j]=(dep[x]<dep[y])?x:y;}for(int i=2;i<=stn;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;	memset(ls,0,sizeof(ls));for(int k=1;k<=n;k++){m=top=tot=0;ll sum=0;for(int i=k;i<=n;i+=k)p[++m]=i,sum+=phi[i];sort(p+1,p+1+m,cmp);sum%=P;if(p[1]!=1)s[++top]=1;for(int i=1;i<=m;i++){Ins(p[i]);mark[p[i]]=1;(g[k]+=1ll*phi[p[i]]*dep[p[i]]%P*sum%P)%=P;}while(top>1)addl(s[top-1],s[top]),top--;calc(1,g[k]);g[k]=g[k]*2ll%P;}for(int i=1;i<=n;i++){ll tmp=0;for(int j=i;j<=n;j+=i)(tmp+=mu[j/i]*g[j]%P)%=P;(ans+=tmp*i%P*power(phi[i],P-2)%P)%=P;}printf("%d\n",(ans+P)%P*power(1ll*n*(n-1)%P,P-2)%P);return 0;
}