正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4451

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题目大意

给出$n$，对于所有满足${\sum }_{i=1}^m{a}_i=n$且$\forall a_i\in N^{+}$的序列求
$$\sum _{m=1}^{\infty }\prod _{i=1}^{m}Fb{i}_{a_i}$$
其中$Fb{i}_x$表示第$x$个斐波那契数

$1\le n\le 10^{10^4}$

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解题思路

因为刚学特征方程所以推的都会写下来，比较冗长

首先考虑斐波那契的生成函数$F(x)={\sum }_{i=0}^{n}Fb{i}_i{x}^i$
那么有$F(x)=x^{2}F(x)+xF(x)+x$，可以解得$F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$。

然后答案就是
$$\sum _{i=0}^{\infty }F(x{)}^i=\frac{1}{1-F(x)}=\frac{1}{1-\frac{x}{1-x-x^2}}=\frac{1-x-x^2}{1-2x-x^2}$$
然后$\frac{1}{1-2x-x^2}$是一个特征方程为$1-2x-x^2$的递推式，也就是$a_n=2a_{n-1}+a_{n-2}$。
然后$G(x)={\sum }_{i=0}^{\infty }{a}_i{x}^i$，那么答案就是
$$(1-x-x^2)G(x)=\sum _{i=0}^{\infty }(a_i-a_{i-1}-a_{i-2})x^i=\sum _{i=0}^{\infty }{a}_{i-1}{x}^i$$

所以我们要求的第$n$项就是$a_{n-1}$

用特征方程化前面那个递推式了，解出$1-2x-x^2=0$有$x_0=\sqrt{2}+1,x_1=-\sqrt{2}+1$
然后设$a_n=c_0{x}_0^n+c_1{x}_1^n$带入$a_0=1$和$a_1=2$有方程
$$\{\begin{array}{c}{c}_0+c_1=1\\ c_0(\sqrt{2}+1)+c_1(-\sqrt{2}+1)=2\end{array}$$
解出来就是
$$\{\begin{array}{c}{c}_0=\frac{2+\sqrt{2}}{4}\\ c_1=\frac{2-\sqrt{2}}{4}\end{array}$$
然后我们就有
$$a_n=\frac{2+\sqrt{2}}{4}(\sqrt{2}+1{)}^n+\frac{2-\sqrt{2}}{4}(-\sqrt{2}+1{)}^n$$

然后二次剩余跑出来在模$10^9+7$下$\sqrt{2}=59713600$带进去做就好了。

时间复杂度$O(\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll g2=59713600,P=1e9+7;
char s[11000];ll n; 
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
signed main()
{scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);ll p=0;for(ll i=1;i<=n;i++)p=(p*10+s[i]-'0')%(P-1);ll inv=(P+1)/4;ll c1=(2-g2+P)%P*inv%P,c2=(2+g2)*inv%P;ll t1=c1*power(P-g2+1,p)%P*power(P-g2+1,P-2)%P;ll t2=c2*power(g2+1,p)%P*power(g2+1,P-2)%P;printf("%lld\n",(t1+t2)%P);return 0;
}