正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5110

---

题目大意

数列$a$满足
$$a_n=233a_{n-1}+666a_{n-2},a_0=0,a_1=1$$
$T$组询问给出$n$求$a_n$

$1\le T\le 5\times 10^7$，$n$在$\text{unsigned long long}$范围内

---

解题思路

上面那个递推式的特征方程就是$x^2-233x-666$，直接带式子解出来$x_0=\frac{233+\sqrt{56953}}{2},x_1=\frac{233-\sqrt{56953}}{2}$。

然后设$a_n=c_0{x}_0^n+c_1{x}_1^n$，那么带入$a_0$和$a_1$就有
$$\{\begin{array}{c}{c}_0+c_1=0\\ c_0\frac{233+\sqrt{56953}}{2}+c_1\frac{233-\sqrt{56953}}{2}=1\end{array}$$
解出来有$c_0=\frac{1}{\sqrt{56953}},c_1=-\frac{1}{\sqrt{56953}}$。

这样我们就可以$O(T\log n)$求答案了，但是还是不够。

先根据欧拉定理让$n$模上$\phi (P)$缩小范围

然后分块处理快速幂，处理出$x^i$和$x^{i\sqrt{P}}(i\in [0,\sqrt{P}])$，这个是$O(\sqrt{P})$的，然后每次把$n$分为整块的成上末尾的就好了。

时间复杂度$O(\sqrt{P}+T)$

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const ll P=1e9+7,Phi=P-1;
const ll sq=188305837,T=32000;
ll Q,n,p0[T+1],p1[T+1],P0[T+1],P1[T+1],ans;
ll pw0(ll x){return P0[x/T]*p0[x%T]%P;}
ll pw1(ll x){return P1[x/T]*p1[x%T]%P;}
namespace Mker
{unsigned long long SA,SB,SC;void init(){scanf("%llu%llu%llu",&SA,&SB,&SC);}unsigned long long rand(){SA^=SA<<32,SA^=SA>>13,SA^=SA<<1;unsigned long long t=SA;SA=SB,SB=SC,SC^=t^SA;return SC%Phi;}
}
signed main()
{ll inv2=(P+1)/2;ll x0=(233+sq)*inv2%P,x1=(P+233-sq)*inv2%P;p0[0]=p1[0]=P0[0]=P1[0]=1;for(ll i=1;i<=T;i++)p0[i]=p0[i-1]*x0%P,p1[i]=p1[i-1]*x1%P;for(ll i=1;i<=T;i++)P0[i]=P0[i-1]*p0[T]%P,P1[i]=P1[i-1]*p1[T]%P;ll inv=233230706,c0=inv,c1=P-inv;scanf("%lld",&Q);Mker::init();while(Q--){n=Mker::rand();
//		scanf("%lld",&n);ans=0;ans^=(c0*pw0(n)+c1*pw1(n))%P;
//		printf("%lld\n",ans);}printf("%lld\n",ans);
}