正题

P2257

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题目大意

给你T组询问，每组询问给出n,m，让你求 $1\le x\le n,1\le y\le m$ 且 $gcd(x,y)=prime$ 的方案数

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解题思路

根据题意，有

$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[gcd(i,j)=prime]$$

考虑把prime拿出来枚举

$$\begin{gathered} \sum _{p\in prime}^n\sum _{i=1}^{n/p}\sum _{j=1}^{m/p}[gcd(i,j)=1] \\ \sum _{p\in prime}^n\sum _{i=1}^{n/p}\sum _{j=1}^{m/p}\sum _{d|i,d|j}\mu (d) \\ \sum _{p\in prime}^{min(n,m)}\sum _{d=1}^{min(n,m)/p}\mu (d)\times \lfloor \frac{n}{dp}\rfloor \times \lfloor \frac{m}{dp}\rfloor \end{gathered}$$

然后可以考虑改变枚举变量

可以发现后面的两个整除都与dp有关，那么考虑枚举dp，那么有

$$\begin{gathered} \sum _{k=1}^{min(n,m)}\sum _{p\in prime,p|k}\mu (\frac{k}{p})\times \lfloor \frac{n}{k}\rfloor \times \lfloor \frac{m}{k}\rfloor \\ \sum _{k=1}^{min(n,m)}\lfloor \frac{n}{k}\rfloor \lfloor \frac{m}{k}\rfloor \sum _{p\in prime,p|k}\mu (\frac{k}{p}) \end{gathered}$$

对于后面的${\sum }_{p\in prime,p|k}\mu (\frac{k}{p})$，可以预处理，先枚举质数，然后枚举倍数，然后计算贡献

对于前面的一段再整除分块就好了

时间复杂度 $O(T\sqrt{n})$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 10000010
using namespace std;
ll T,n,m,ans,w,p[N],g[N],mu[N],prime[N];
const ll MX=1e7;
void work()
{p[1]=mu[1]=1;for(ll i=2;i<=MX;++i){if(!p[i]){mu[i]=-1;prime[++w]=i;}for(ll j=1;j<=w&&i*prime[j]<=MX;++j){p[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0)break;else mu[i*prime[j]]=-mu[i];}}for(ll i=1;i<=w;++i)for(ll j=1;j*prime[i]<=MX;++j)g[j*prime[i]]+=mu[j];//对每个数提出一个质因数计算mu的贡献for(ll i=2;i<=MX;++i)g[i]+=g[i-1];return;
}
int main()
{scanf("%lld",&T);work();while(T--){scanf("%lld%lld",&n,&m);ans=0;for(ll l=1,r=0;l<=min(n,m);l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));ans+=(n/l)*(m/l)*(g[r]-g[l-1]);}printf("%lld\n",ans);}return 0;
}