正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5369

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题目大意

一个数列$a$的权值定义为max{∑i=1kai}(k∈[1,n])max\{\sum_{i=1}^ka_i\}(k\in[1,n])max{∑i=1k​ai​}(k∈[1,n])
给出$n$个数字，求它们所有排列的权值和

$1\le n\le 20$

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解题思路

设$s_i,f_i,g_i$分别表示集合$i$的权值和，集合$i$的所有排列中最大前缀和为$s_i$的方案数，集合$i$的所有排列中的最大前缀和为负的方案数。那么答案就是
$$\sum _{i=0}^{2^n-1}{f}_i{s}_i{g}_{2^n-1-i}$$
$s_i$很好求。$g_i$的话我们只转移$s_i<0$的就可以了，$f_i$的话我们考虑每次在前面插入一个数，那么只要原来的是最大前缀和，那么插入之后也一定是。

时间复杂度$O(2^{n}n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=21,P=998244353;
int n,a[N],lg[1<<N],s[1<<N],f[1<<N],g[1<<N],ans;
int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);for(int i=0;i<n;i++)lg[1<<i]=i;int MS=(1<<n);f[0]=g[0]=1;for(int i=1;i<MS;i++){int p=i&-i;s[i]=(s[i-p]+a[lg[p]])%P;}for(int i=0;i<MS;i++){if(s[i]<0)continue;for(int j=0;j<n;j++){if(i&(1<<j))continue;(f[i|(1<<j)]+=f[i])%=P;}}for(int i=0;i<MS;i++){for(int j=0;j<n;j++){if(i&(1<<j))continue;int z=i|(1<<j);if(s[z]<0)(g[z]+=g[i])%=P;}}for(int i=0;i<MS;i++)(ans+=1ll*f[i]*g[MS-1-i]%P*s[i]%P)%=P;printf("%d\n",(ans+P)%P);return 0;
}