正题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/161/F

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题目大意

给出$n$个点的一张图，求它的所有生成树中权值和为$k$的倍数的个数。输出答案对$p$取模
$1\le n,k\le 100,1\le m\le 10^4,p\in [2,10^9]\cap Pri$
数据保证$k\equiv 1(modp)$

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解题思路

一个想法是把一条边权看做$x^w$的多项式，用矩阵树定理乘起来后$k$的倍数的系数和就是答案。
但是这样系数是$nk$个，显然搞不定。

类似于CF917D-StrangerTree的做法我们可以带入若干个值然后跑矩阵数之后求出若干个点值。

但是这里是$k$的倍数，我们要模拟卷积，可以带入$k$个$g$满足$g^k=1$的就可以了。

这里保证了$k\equiv 1(modp)$，所以我们求出$p$的原根$g$然后带入$g^{\frac{p-1}{k}\times i}(i\in [0,k-1])$就可以了。

然后直接拉插求出$x=0$的点值就好了。

时间复杂度$O(n^{3}k)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=110;
struct node{ll x,y,w;
}e[N*N];
ll n,m,k,P,g,x[N],y[N];
vector<ll> p;
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void Prime(){ll x=P-1;for(ll i=2;i*i<=x;i++)if(x%i==0){p.push_back(i);while(x%i==0)x/=i;}if(x>1)p.push_back(x);
}
bool check(ll x){for(ll i=0;i<p.size();i++)if(power(x,(P-1)/p[i])==1)return 0;return 1;
}
namespace Matrix{ll a[N][N];ll det(ll v){memset(a,0,sizeof(a));ll ans=1;for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=e[i].x,y=e[i].y,w=power(v,e[i].w); (a[x][y]+=P-w)%=P;(a[y][x]+=P-w)%=P;(a[x][x]+=w)%=P;(a[y][y]+=w)%=P;}ll f=0;for(ll i=1;i<n;i++){for(ll j=i;j<n;j++)if(a[j][i]){if(i==j)break;swap(a[i],a[j]);f^=1;break;}ans=ans*a[i][i]%P;ll inv=power(a[i][i],P-2);for(ll j=i;j<n;j++)a[i][j]=a[i][j]*inv%P;for(ll j=i+1;j<n;j++){ll rate=P-a[j][i];for(ll k=i;k<n;k++)(a[j][k]+=rate*a[i][k])%=P;}}return f?(P-ans):ans;}
}
signed main()
{scanf("%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&k,&P);Prime();g=1;while(!check(g))g++;for(ll i=1;i<=m;i++)scanf("%lld%lld%lld",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].w);for(ll i=1;i<=k;i++){x[i]=power(g,(P-1)/k*(i-1));y[i]=Matrix::det(x[i]);}ll ans=0;for(ll i=1;i<=k;i++){ll tmp=1;for(ll j=1;j<=k;j++)if(i!=j)tmp=tmp*(P-x[j])%P*power(x[i]-x[j],P-2)%P;(ans+=tmp*y[i]%P)%=P;}printf("%lld\n",(ans+P)%P);return 0;
}