正题

P2398

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题目大意

给出n，求$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}gcd(i,j)$$

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解题思路

考虑先枚举gcd，那么有

$$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{n/d}\sum _{j=1}^{n/d}[gcd(i,j)=1]$$

$$\begin{gathered} \phi (n)=\sum _{i=1}^n[gcd(i,n]=1] \\ \sum _{k=1}^n\phi (k)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^i[gcd(i,j)=1] \end{gathered}$$

原式后面一段比上面多了 $j>i$ 的情况，这种情况的方案数和 $j\le i$ 的方案数是相等的，可以直接乘2，不过要把 $\phi (1)$ 重复计算的减去

那么原式为

$$\sum _{d=1}^{n}d(2\times \sum _{i=1}^{n/d}\phi (i)+1)$$

后面一段可以用前缀和做，然后可以直接整除分块

时间复杂度 $O(\sqrt{n})$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 100100
using namespace std;
ll n,w,ans,p[N],phi[N],prime[N];
const ll MX=100000;
void work()
{phi[1]=1;for(ll i=2;i<=MX;++i){if(!p[i]){prime[++w]=i;phi[i]=i-1;}for(ll j=1;j<=w&&i*prime[j]<=MX;++j){p[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);}}for(ll i=2;i<=n;++i)phi[i]+=phi[i-1];return;
}
int main()
{scanf("%lld",&n);work();for(ll l=1,r=0;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);ans+=(phi[n/l]*2-1)*(r+l)*(r-l+1)/2;}printf("%lld",ans);return 0;
}