正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5540

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题目大意

给出$n$个点$m$条边边权是一个二元组$(a_i,b_i)$，求出一棵生成树最小化
$$(\sum _{e\in T}{a}_e)\times (\sum _{e\in T}{b}_e)$$
的情况下最小化${\sum }_{e\in T}{a}_e$

$1\le n\le 200,1\le m\le 10^4$

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解题思路

这种带乘积的可以维护凸壳，对于一棵生成树$T$我们视为一个$({\sum }_{e\in T}{a}_e,{\sum }_{e\in T}{b}_i)$的点，这样我们打答案一定在下凸壳上。

可以用一种分治求凸壳的方法，我们先找出下凸壳的两个端点（$x$最小的和$y$最小的）记为$A,B$，然后找到一个在$A$与$B$的连边下面的一个最凸的点$C$（可以视为最大化$S_{△ACB}$，这样$C$一定在凸壳上），然后分治下去做$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{CB}$。

考虑怎么求这个$C$，就是最大化$\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{CB}$
$$(x_C-x_A)(y_B-y_A)-(x_B-x_A)(y_C-y_A)$$
$$=x_C(y_B-y_A)-y_C(x_B-x_A)+y_A(x_B-x_A)-x_A(y_B-y_A)$$
然后就是相当于最小化$x_C(y_B-y_A)+y_C(x_A-x_B)$，拿这个当边权跑就可以跑出$C$了。

然后时间复杂度据说是$O(m\log m\sqrt{\ln n!})$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=210,M=1e4+10;
struct node{ll x,y,w,id;
}e[M];
struct point{ll x,y;point(ll xx=0,ll yy=0){x=xx;y=yy;return;}
}ans;
ll n,m,x[M],y[M],a[M],b[M],fa[N];
point operator-(point x,point y)
{return point(x.x-y.x,x.y-y.y);}
ll operator*(point x,point y)
{return x.x*y.y-x.y*y.x;}
bool cmp(node x,node y)
{return (x.w==y.w)?(a[x.id]<a[y.id]):(x.w<y.w);}
ll find(ll x)
{return (fa[x]==x)?x:(fa[x]=find(fa[x]));}
point Kruskal(){ll cnt=0;point res=0;for(ll i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;sort(e+1,e+1+m,cmp);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);if(x==y)continue;fa[x]=y;cnt++;res.x+=a[e[i].id];res.y+=b[e[i].id];if(cnt==n-1)break;}if(res.x*res.y<ans.x*ans.y)ans=res;else if(res.x*res.y==ans.x*ans.y&&res.x<ans.x)ans=res;return res;
}
void solve(point A,point B){for(ll i=1;i<=m;i++)e[i]=(node){x[i],y[i],(B.x-A.x)*b[i]+(A.y-B.y)*a[i],i};point C=Kruskal();if((C-A)*(B-A)<=0)return;solve(A,C);solve(C,B);
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=m;i++){scanf("%lld%lld%lld%lld",&x[i],&y[i],&a[i],&b[i]);x[i]++;y[i]++;}ans.x=ans.y=1e9;for(ll i=1;i<=m;i++)e[i]=(node){x[i],y[i],a[i],i};point A=Kruskal();for(ll i=1;i<=m;i++)e[i]=(node){x[i],y[i],b[i],i};point B=Kruskal();solve(A,B);printf("%lld %lld\n",ans.x,ans.y);return 0;
}