ABC182——F - Valid payments Editorial

F - Valid payments Editorial

大佬题解
看了述题解我才刚理解题目意思。

Here, both Lunlun and the clerk used the minimum number of coins needed to represent those amounts of money.

这句话意味着任何数都能用 $a1…ana_1\dots a_n$ 这些面值的货币唯一表示
并且能够推导出：对于第 $i$ 种纸币的面值是 $a_i$ ，使用次数一定小于 $mxi=ai+1aimx_i=\frac{a_{i+1}}{a_i}$

不妨设找的钱为 $b$ 于是有 $X + b = y$ ，将三个数用 $a_i$ 表示有
$X=kX1a1+kX2a2+⋯+kXnanX=k_{X1}a_1+k_{X2}a_2+\dots +k_{Xn}a_n$
$b=kb1a1+kb2a2+⋯+kbnanb=k_{b1}a_1+k_{b2}a_2+\dots +k_{bn}a_n$
$y=ky1a1+ky2a2+⋯+kynany=k_{y1}a_1+k_{y2}a_2+\dots +k_{yn}a_n$
且有：
① $k_{bi}$ 和 $k_{yi}$ 至少有一个为0
② $k_{yi}<mx_i$

$f_{i,0/1}$ 表示考虑第 $i$ 种位是否对 $i + 1$ 位进位的方案数
后续参考大佬题解

#define IO ios::sync_with_stdio(false);cin.tie();cout.tie(0)
#pragma GCC optimize(2)
#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<stack>
#include<queue>
#include<random>
#include<bitset>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
const int N=60;
ll a[N],mx[N],k[N];
ll x;
ll f[N][2];
int n;
int main()
{IO;int T=1;//cin>>T;while(T--){cin>>n>>x;for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];for(int i=1;i<n;i++) mx[i]=a[i+1]/a[i];for(int i=n;i;i--){k[i]=x/a[i];x%=a[i];}f[1][0]=1;if(k[1]) f[1][1]=1;for(int i=1;i<n;i++){f[i+1][0]+=f[i][0];if(k[i+1]) f[i+1][1]+=f[i][0];f[i+1][1]+=f[i][1];if(k[i+1]+1!=mx[i+1]) f[i+1][0]+=f[i][1];}cout<<f[n][0]<<'\n';}return 0;
}