正题

P4767

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题目大意

给出坐标轴上的n个点，让你选择m个点作为特殊点，使所有点到最近特殊点的距离之和最小

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解题思路

考虑对于一个区间选择一个特殊点的最小代价，可以把所有点到当前点的路径分割开来，即每段距离走的次数为1,2,3…l-1,l,r,r-1…3,2,1，其中连接l,r的就是选择的特殊点，显然让l,r相同代价最小，那么取中间点即可

在构造时可以看作是构造等腰三角形（高度为走的次数），那么每次往mid-r中加一次即可

然后考虑DP

设 $f_{i,j}$ 为前 i 个点中选择 j 个特殊点的最小贡献，那么没到一个状态考虑从哪个点开始重新构建一个新区间（这个区间的最短距离都是到新的一个特殊点），那么时间复杂度 $O(n^{2}m)$

考虑用四边形不等式优化（笔者写的不好，若看不懂可以到洛谷看题解qaq）

设 dis 为区间最小代价，sum 为路径长度

令 $mid=\frac{b+a+1}{2}$

若 $2|(b-(a+1))$

$$\begin{array}{rl}di{s}_{a,b}+di{s}_{a+1,b+1}& =di{s}_{a,b}+di{s}_{a+1,b+1}\\ & =su{m}_{a,mid}+di{s}_{a+1,b}+di{s}_{a+1,b}+su{m}_{mid,b+1}\\ & =di{s}_{a+1,b}+su{m}_{a,b+1}+di{s}_{a+1,b}\\ & =di{s}_{a,b+1}+di{s}_{a+1,b}\end{array}$$

若 $2\nmid (b-(a+1))$

$$\begin{array}{rl}di{s}_{a,b}+di{s}_{a+1,b+1}& =di{s}_{a,b}+di{s}_{a+1,b+1}\\ & =su{m}_{a,mid}+di{s}_{a+1,b}+di{s}_{a+1,b}+su{m}_{mid+1,b+1}\\ & \ge di{s}_{a+1,b}+su{m}_{a,b+1}+di{s}_{a+1,b}\\ & =di{s}_{a,b+1}+di{s}_{a+1,b}\end{array}$$

综上，该转移满足四边形不等式

然后可以用二维的决策单调性优化转移

时间复杂度 $O(nm)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 3010
using namespace std;
int n,m,a[N],f[N][N],d[N][N],dis[N][N];
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);for(int i=1;i<=n;++i){dis[i][i]=0;for(int j=i+1;j<=n;++j)dis[i][j]=dis[i][j-1]+a[j]-a[i+j>>1];}memset(f,127/3,sizeof(f));f[0][0]=0;for(int j=1;j<=m;++j){d[n+1][j]=n;for(int i=n;i>0;--i)for(int k=d[i][j-1];k<=d[i+1][j];++k)if(f[k][j-1]+dis[k+1][i]<f[i][j])f[i][j]=f[k][j-1]+dis[k+1][i],d[i][j]=k;}printf("%d",f[n][m]);return 0;
}