正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4240

---

题目大意

$Q$组数据给出$n,m$求
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\phi (i\times j)$$
$1\le Q\le 10^4,1\le n,m\le 10^5$

---

解题思路

首先需要知道的结论就是
$$\phi (i\times j)=\phi (i)\phi (j)\frac{gcd(i,j)}{\phi (gcd(i,j))}$$

然后推一下式子
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\phi (i)\phi (j)\frac{gcd(i,j)}{\phi (gcd(i,j))}$$
$$\sum _{d=1}^n\frac{d}{\phi (d)}\sum _{d|i}^n\sum _{d|j}^m\phi (i)\phi (j)[gcd(i,j)=d]$$
然后莫反一波
$$\sum _{d=1}^n\frac{d}{\phi (d)}\sum _{z|d}^n\mu (\frac{z}{d})\sum _{z|i}^n\sum _{z|j}^m\phi (i)\phi (j)$$
提出$z$来
$$\sum _{z=1}^n(\sum _{z|i}^n\phi (i)\sum _{z|j}^m\phi (j))\sum _{d|z}\mu (\frac{z}{d})\frac{d}{\phi (d)}$$
后面那个很好求，线性筛然后$O(n\log n)$处理就好了，并且设为$g_i$，后面需要用到。但是前面那个比较麻烦，而且我们好像就推不动了。

这其实是一个挺经典的$track$的，考虑平衡规划。设定一个$T$，对于小于等于$T$的部分我们暴力算，对于大于$T$的部分我们考虑预处理。

设$f_{i,j}={\sum }_{j|x}^i\phi (x)$，然后再设一个$h_{i,j,k}$
$$h_{i,j,k}=\sum _{x=T+1}{f}_{i,j}\times f_{i,k}\times g_i$$
这个可以用一个前缀和$O(n{\frac{n}{T}}^2)$的做到。

然后大于$T$的部分我们就可以用上面预处理的$h$+整除分块做到$O(\sqrt{n})$了。

总共的时间复杂度是$O(n\sqrt{n}+n{T}^2+Q(T+\sqrt{n}))$
将$T$设为$n^{\frac{2}{3}}$就是$O(n\sqrt{n}+n^{\frac{4}{3}}+Q{n}^{\frac{2}{3}})$了。

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e5+10,P=998244353;
ll Q,n,m,cnt,pri[N],inv[N],mu[N],phi[N],g[N],o[N];
bool v[N];vector<ll> f[N],h[N];
void prime(){phi[1]=mu[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1,mu[i]=-1;for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){v[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);mu[i*pri[j]]=-mu[i];}}inv[1]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-(P/i)*inv[P%i]%P;for(ll i=1;i<N;i++)for(ll j=i;j<N;j+=i)(g[j]+=inv[phi[i]]*i%P*mu[j/i])%=P;return;
}
signed main()
{prime();ll L=1e5,T=(ll)pow(L,2.0/3.0)+1;f[0].resize(L+1);for(ll i=1;i<=L;i++){f[i].resize(L/i+1);for(ll j=1;j<=L/i;j++)f[i][j]=(f[i][j-1]+phi[i*j])%P;}h[T].resize((L/T)*(L/T)+1);for(ll i=T+1;i<=L;i++){ll p=L/i;h[i].resize(p*p+1);for(ll j=1;j<=p;j++)for(ll k=1;k<=p;k++)h[i][(j-1)*p+k]=(h[i-1][(j-1)*o[i-1]+k]+f[i][j]*f[i][k]%P*g[i]%P)%P;o[i]=p;}scanf("%lld",&Q);while(Q--){scanf("%lld%lld",&n,&m);if(n>m)swap(n,m);ll ans=0;for(ll i=1;i<=min(T,n);i++)(ans+=f[i][n/i]*f[i][m/i]%P*g[i]%P)%=P;for(ll l=T+1,r;l<=n;l=r+1){r=min(n/(n/l),m/(m/l));(ans+=h[r][(n/l-1)*o[r]+m/l]-h[l-1][(n/l-1)*o[l-1]+m/l])%=P;}printf("%lld\n",(ans+P)%P);}return 0;
}