正题

P5952

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题目大意

有一个n*m的网格，每个网格之间有一个板，给出每个板的高度（边界有一个高度为 $\infty$ 的墙），在每个网格中注水（必须是非负整数），使得两个高度不等且相邻的网格之间有一个大于两边高度的板（可以理解为水的自由流动，如果没有板阻挡会过去），若最高高度为H，问合法的注水方案数

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解题思路

考虑每一个网格网上注水会先越过哪个板，与另一个点高度同步

对每个板，建一条连接两个点的边，然后跑最小生成树，那么往上注水然后与别的格子同步一定之和这棵树上的边有关

证明：

如果存在一个点y和x相连，但是x和y的边不在最小生成树内，如果x在注水到x-y的高度之前都没有和y同步，那么最小生成树上x到y的路径最大权值就大于x-y的高度，不符合最小生成树的定义，所以不存在这样的情况

设 $h_x$ 为当前状态下，x 所在连通块的最高的板， $an{s}_x$ 为当前状态下，x 所在连通块到达最高的板的高度之前的方案数（因为超过最高的板后，可能注的水后超过后面增加的板）

对于每一次连边，设 z 为当前板的高度，那么有 $ans=(an{s}_x+z-h_x)\times (an{s}_y+z-h_y)$，即两边的水可以选择 $h+1\sim z$ 的高度，所以方案数加上z-h

最后得到的答案加上全部水覆盖到H的方案数即可

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 500500
#define mp make_pair
#define fs first
#define sn second
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll n,m,w,H,x,y,z,h[N],fa[N],ans[N];
pair<int,pair<int,int> >a[N<<1];
ll g(ll x,ll y)
{return (x-1)*m+y;
}
ll find(ll x)
{return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]); 
}
int main()
{scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&H);for(ll i=1;i<=n;++i)for(ll j=1;j<m;++j){scanf("%lld",&x);a[++w]=mp(x,mp(g(i,j),g(i,j+1)));}for(ll i=1;i<n;++i)for(ll j=1;j<=m;++j){scanf("%lld",&x);a[++w]=mp(x,mp(g(i+1,j),g(i,j)));}sort(a+1,a+1+w);for(ll i=1;i<=n;++i)for(ll j=1;j<=m;++j){x=g(i,j);fa[x]=x;ans[x]=1;}for(ll i=1;i<=w;++i){x=find(a[i].sn.fs);y=find(a[i].sn.sn);z=a[i].fs;if(x==y)continue;fa[x]=y;ans[y]=(ans[x]+z-h[x]+mod)%mod*((ans[y]+z-h[y]+mod)%mod)%mod;h[y]=z;}x=find(1);printf("%lld",(ans[x]+H-h[x])%mod);return 0;
}