珂朵莉的约数

来源：牛客网：

题目描述

珂朵莉给你一个长为n的序列，有m次查询

每次查询给两个数l,r

设s为区间[l,r]内所有数的乘积

求s的约数个数mod 1000000007

输入描述:
第一行两个正整数n,m
第二行一个长为n的序列
之后m行每行两个数l和r
输出描述:
对于每个询问，输出一个整数表示答案
示例1
输入
复制

5 5
64 2 18 9 100
1 5
2 4
2 3
1 4
3 4

输出
复制

备注:
对于100%的数据，有n , m <= 100000 , a[i] <= 1000000

题解：

莫队+数论（约数个数）
很容易看出是莫队的题，个人认为难点在于求约数的个数，常规的求约束的个数肯定不行，有一个叫约束个数定理的东西
任何一个大于1的n都可以分解：
n=p1^a1×p2^a2×p3^a3*…*pk^ak,p为素数
而n的约数的个数就是(a1+1)(a2+1)(a3+1)…(ak+1)
再看一下本题数据，对于不超过1000的素数我们可以直接维护每个素数的幂指数+1的前缀乘积（共168个），而超过1000的素因数最多也就一个。代码中ant用来记录1000之外的素因子，res用来记录1000之内的每个素数的幂指数+ 1 +1+1的前缀乘积
线性筛就是每一次被最小素因数给筛出来，所以用线性筛来计算因数和。因为题目要mod，所以我们还要线性预处理逆元，方便后面使用

nv[0] = inv[1] = 1; for(int i=2;i<=n+1;i++) inv[i]=1ll*(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD ;

具体线性筛如何求因数和可以看其他博客讲解
具体代码如下

代码：

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 10;
const int MOD = 1e9+7;int prime[1007],tot;
bool vis[1007];
ll inv[N],ans[N],ant;
int Be[N],a[N],sum[N*10],pre[N][170]; // sum存 在区间内 > 1000 的素数的个数
void init()
{tot = 0;for(int i = 2;i <= 1000;i++){if(vis[i])  continue;prime[tot++] = i;for(int j = i + i; j <= 1000; j += i )vis[j] = 1;}
}struct Mo{int l,r,id;
}Q[N];
int cmp(Mo a,Mo b){ return Be[a.l] == Be[b.l] ? a.r < b.r : a.l < b.l;}void add(int pos)
{if(a[pos] == 1) return;ant = ant*inv[1+sum[a[pos]]]%MOD;sum[a[pos]]++;ant = ant*(1+sum[a[pos]])%MOD;
}
void del(int pos)
{if(a[pos] == 1) return;ant = ant*inv[1+sum[a[pos]]]%MOD;sum[a[pos]]--;ant = ant*(1+sum[a[pos]])%MOD;
}
int main()
{int n,m;init();scanf("%d%d",&n,&m);inv[0] = inv[1] = 1; for(int i=2;i<=n+1;i++) inv[i]=1ll*(MOD-MOD/i)*inv[MOD%i]%MOD ;  // 逆元筛int len = sqrt(n);for(int i = 1;i <= n;i++){scanf("%d",&a[i]);Be[i] = i/len;for(int j = 0;j < tot;j++){pre[i][j] = pre[i-1][j];while(a[i] % prime[j] == 0)//如果这个质数是因子 {pre[i][j]++;a[i] /= prime[j]; }}}for(int i = 1;i <= m;i++)   scanf("%d%d",&Q[i].l,&Q[i].r),Q[i].id = i;sort(Q+1,Q+m+1,cmp);memset(sum,0,sizeof(sum));ant = 1;int l = 1,r = 0;for(int i = 1;i <= m;i++){while(r < Q[i].r)   add(r+1),r++;while(r > Q[i].r)   del(r),r--;while(l < Q[i].l)   del(l),l++;while(l > Q[i].l)   add(l-1),l--;ll res = 1;for(int j=0;j<tot;j++)res=1ll*res*(pre[r][j]-pre[l-1][j]+1)%MOD;ans[Q[i].id] = 1ll*ant*res%MOD;}for(int i = 1;i <= m;i++)printf("%lld\n",ans[i]);return 0;
}