正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5437

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题目大意

$n$个点的完全图，连接$i,j$的边权值为$(i+j{)}^k$。随机选出一个生成树，求期望边权和。

$1\le n<998244353,1\le k\le 10^7$

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解题思路

一条边选出来的概率是$\frac{2}{n}$（总共有$\frac{2}{n(n-1)}$条，选$n-1$条，或者$Prufer$序列也能证明）

所以现在考虑怎么求
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(i+j{)}^k$$
这个东西首先$f(n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{n}i+j$是一个二项式，所以$(i+j{)}^k$就是一个$k+2$次多项式，所以可以考虑用拉插。

现在是如何快速求出$1\sim k$的值，考虑递推
$$f(n)-f(n-1)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n(i+j{)}^k-\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=1}^{n-1}(i+j{)}^k$$
$$=\sum _{i=n+1}^{2n-1}{i}^k$$

然后用线性筛预处理出$i^k$就好了。当然拉插也要用线性的优化

时间复杂度$O(n)$

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code

#include<cstdio> 
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1e7+10,P=998244353;
ll n,k,cnt,pri[N/5],w[N<<1],y[N];
ll pre[N],suf[N],inv[N],ans;
bool v[N<<1];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1;}return ans;
}
void Prime(int n){w[1]=1;for(ll i=2;i<=n;i++){if(!v[i])pri[++cnt]=i,w[i]=power(i,k);for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){v[i*pri[j]]=1;w[i*pri[j]]=w[i]*w[pri[j]]%P;if(i%pri[j]==0)break;}}return;
}
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&k);Prime(k*2+6);k+=3;pre[0]=suf[k+1]=inv[1]=1;y[2]=w[3];for(ll i=3;i<=k;i++)y[i]=(y[i-1]+w[i*2-1]+w[i*2-2]-w[i])%P;for(ll i=1;i<=k;i++)y[i]=(y[i-1]+y[i])%P;for(ll i=1;i<=k;i++)pre[i]=pre[i-1]*(n-i)%P;for(ll i=k;i>=1;i--)suf[i]=suf[i+1]*(n-i)%P;for(ll i=2;i<=k;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;inv[0]=1;for(ll i=1;i<=k;i++)inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;for(ll i=1;i<=k;i++)(ans+=pre[i-1]*suf[i+1]%P*inv[i-1]%P*inv[k-i]%P*y[i]%P*(((k-i)&1)?-1:1))%=P;printf("%lld\n",(ans+P)%P*power(n,P-2)%P*2%P);return 0;
}