正题

P7519

---

题目大意

n个队伍，排名先按分数排序再按编号排序，每个队伍有一个初始分数 $a_i$，和一个附加分数 $b_i$

对于一个合法的 $b_i$ 序列，按 $b_i$ 大小排序，从小到大把每个 $b_i$ 加进对应的 $a_i$ 中，且每个 $b_i$ 加入后对应的点会成为排名第一的点

现在告诉你所有 $b_i$ 的和 m，问你对于所有合法的 $b_i$，最后的排名有多少种

---

解题思路

考虑状压DP，设 $f_{S,i,j,k}$ 为当前所有点是否添加的状态为 $S$，最后添加的点为 $i$，$b_i=j$，已经加了的 $b$ 和为 $k$ 的方案数

直接转移时间复杂度为 $O(2^n{n}^2{m}^2)$，会TLE

考虑到答案的计算之和最后的排名有关，也就是和加入 $b$ 的顺序有关（下文所有顺序都是指加入顺序中的先后），那么对于一种加入顺序，让所有点的 $b_i$ 尽量小（除最后一个点）

因为 $b_i$ 是单调递增的，所以考虑一个点加入 $b_i$ 时，让后面点的 $b$ 都加上 $b_i$，那么就可以保证 $b_i$ 是单调递增的

综上，可以优化掉最后添加的点 $i$ 的附加值 $b_i$，那么设 $f_{S,i,k}$ 表示状态为S，最后添加的点为 $i$ ，$b_i$ 的和为 $k$ ，然后直接转移即可

时间复杂度 $O(2^n{n}^{2}m)$，因为很多状态都跑不到，所以实际上能过

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define N 14
using namespace std;
ll n,m,mx,sum,ans,a[N],f[1<<N][N][505];
int main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=n;++i){scanf("%lld",&a[i]);if(a[i]>a[mx])mx=i;}f[0][mx][0]=1;//要保证第一个点加到比最大的点大for(ll S=0;S<(1<<n)-1;++S){sum=0;for(ll i=1;i<=n;++i)if(!(S&(1<<i-1)))sum++;//计算后面有多少个点for(ll k=0;k<=m;++k)for(ll i=1;i<=n;++i)	if(f[S][i][k])for(ll j=1;j<=n;++j)if(!(S&(1<<j-1)))if(k+sum*max(a[i]-a[j]+(j>i),0ll)<=m)f[S|(1<<j-1)][j][k+sum*max(a[i]-a[j]+(j>i),0ll)]+=f[S][i][k];}for(ll i=1;i<=n;++i)for(ll j=0;j<=m;++j)//多出来的部分放到最后一个点ans+=f[(1<<n)-1][i][j];printf("%lld",ans);return 0;
}