正题

CF889E
luogu

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题目大意

给你 n 个数，让你选择一个X，使得 ${\sum }_{i=1}^{n}X\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_2...\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_i$ 最大

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解题思路

可以发现必定存在一个 i ，使得当前点贡献为 $a_i$，否则把 X 加一显然可以得到更优的答案

朴素的状态转移很难优化，考虑令 $f_{i,j}$ 表示到第 i 个点，当前值为 $0\sim j$，当前总贡献为 $i\times (0\sim j)+f_{i,j}$，即把 j 个状态存到了一起，然后把模后的贡献存在 f 中

对于 $a_{i+1}>j$，直接传递即可

否则存在两种转移

$$\begin{gathered} f_{i+1,j\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_{i+1}}=max(f_{i,j}+i\times (j-j\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}{a}_{i+1}) \\ {f}_{i+1,a_{i+1}-1}=max(f_{i,j}+i\times (((j+1)/a_{i+1}\times a_{i+1}-1)-(a_{i+1}-1)) \end{gathered}$$

第二个转移即找到最大的值使其转移到 $a_{i+1}-1$

因为一个数模了之后至少减半，所以最多转移 $logx$次

时间复杂度 $O(nlognlogx)$

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code

#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
map<ll,ll>::iterator it;
ll n,x,y,z,ans;
map<ll,ll>f;
int main()
{scanf("%lld",&n);for(int i=1;i<=n;++i){scanf("%lld",&x);if(i==1)f[x-1]=0;else{for(it=f.lower_bound(x);it!=f.end();f.erase(it++)){y=(*it).first;z=(*it).second;f[y%x]=max(f[y%x],z+(i-1)*(y-y%x));f[x-1]=max(f[x-1],z+(i-1)*((y+1)/x*x-x));}}}for(it=f.begin();it!=f.end();it++)ans=max(ans,(*it).first*n+(*it).second);printf("%lld",ans);return 0;
}