正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3343

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题目大意

给出$n$个点的一张无向图，每条边被修复的时间是$[0,1]$的一个随机实数，求这张图联通期望时间。

$1\le n\le 10,m\le \frac{n(n-1)}{2}$

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解题思路

这个随机实数好像是用来吓人的（但是概率分布函数好像能搞）

假设修好了$k$条之后恰好联通了，那么期望需要的时间就是$\frac{k}{m+1}$

好了现在要求恰好在$k$条边修好之后联通的方案，因为每条边修好的先后顺序是完全随机的。

设$f_{S,i}$在生成子图$S$中修好了$i$条边是没有联通的方案，$g_{S,i}$则表示联通了的方案，$d_S$表示生成子图$S$的边数。

求$f_{S,i}$的话和之前的[集训队作业2013]城市规划思路很向，考虑扩展出一个新的点$k$，那么我们枚举一个包含$k$的联通块$T(k\in T,T\subseteq S)$，然后合并这个联通块后其他的乱选，就有方程
fS,i=∑k∈T,T⊆S∑j=0min{dT,i}gT,j×(dS−Ti−j)f_{S,i}=\sum_{k\in T,T\subseteq S}\sum_{j=0}^{min\{d_{T},i\}}g_{T,j}\times \binom{d_{S-T}}{i-j}fS,i​=k∈T,T⊆S∑​j=0∑min{dT​,i}​gT,j​×(i−jdS−T​​)
然后$g_{S,i}$不需要专门的方程因为有$f_{S,i}+g_{S,i}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_S}{i}\right)$

然后答案就是
$$\sum _{i=0}^m\frac{i}{m+1}(\frac{f_{G,i}}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_G}{i}\right)}-\frac{f_{S,i-1}}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_G}{i-1}\right)})=\frac{1}{m+1}\sum _{i=0}^m\frac{f_{G,i}}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{d_G}{i}\right)}$$

时间复杂度$O(3^n{n}^2)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=10;
ll n,m,e[1<<N],d[1<<N],g[1<<N][N*N/2],f[1<<N][N*N/2],C[51][51];
signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(ll i=1;i<=m;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);x--;y--;e[(1<<x)|(1<<y)]++;}ll MS=(1<<n);for(ll s=0;s<MS;s++)for(ll t=s;t;t=(t-1)&s)d[s]+=e[t];C[0][0]=1;for(ll i=1;i<=50;i++)for(ll j=0;j<=50;j++)C[i][j]=(j?C[i-1][j-1]:0)+C[i-1][j];for(ll s=1;s<MS;s++){for(ll i=0;i<=d[s];i++){ll k=s&-s;for(ll t=(s-1)&s;t;t=(t-1)&s)if(t&k)for(ll j=0;j<=min(i,d[t]);j++)f[s][i]+=g[t][j]*C[d[s-t]][i-j];g[s][i]=C[d[s]][i]-f[s][i];}}double ans=0;for(ll k=0;k<=m;k++)ans+=(double)f[MS-1][k]/C[m][k];printf("%.6lf\n",ans/(double)(m+1));return 0;
}