P5405-[CTS2019]氪金手游【树形dp,容斥,数学期望】

前言

话说在LojLojLoj下了个数据发现这题的名字叫fgofgofgo

在这里插入图片描述


正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5405


题目大意

nnn张卡的权值为1/2/31/2/31/2/3的概率权重分别是px,1/2/3p_{x,1/2/3}px,1/2/3,然后按照权值每次获得一张未获得的卡,然后再该出一棵有向树(方向可以都是外向或内向的),求所有每条边(u,v)(u,v)(u,v)uuu都比vvv先获得的概率。

1≤n≤1000,0≤pi,j≤1061\leq n\leq 1000,0\leq p_{i,j}\leq 10^61n1000,0pi,j106


解题思路

只考虑外向树的话就是水题了,因为显然的xxx要排在子树最前面的概率就是wx∑y∈subtreexwy\frac{w_x}{\sum_{y\in subtree_x}w_y}ysubtreexwywx

然后直接n2n^2n2dpdpdp就可以力。

但是现在有内向边怎么办,还是考虑转换成只有外向的,也就是去掉一种限制。

去掉一种限制的话容斥是一个不错的办法,考虑的话就是恰好若干条指定边(内向边),我们可以指定至少kkk跳内向边不满足条件,这样就组成了一个外向森林,可以很容易处理出答案,而且这样的容斥系数就是(−1)k(-1)^k(1)k

然后直接dpdpdp就得了,设fi,jf_{i,j}fi,j表示到节点iii然后权值和是jjj,如果限制一条内向边就直接乘上一个−1-11就好了。

额这种树形dpdpdp枚举子树大小可以做到n2n^2n2这个是老生常谈了

时间复杂度O(n2)O(n^2)O(n2)


code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1100,P=998244353;
struct node{ll to,next,w;
}a[N<<1];
ll n,tot,ans,ls[N],siz[N],w[N][3],f[N][3*N],g[N*3];
ll power(ll x,ll b){ll ans=1;while(b){if(b&1)ans=ans*x%P;x=x*x%P;b>>=1; }return ans;
}
void addl(ll x,ll y,ll w){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];a[tot].w=w;ls[x]=tot;return;
}
void dp(ll x,ll fa){ll d=power(w[x][0]+w[x][1]+w[x][2],P-2);siz[x]=3;f[x][1]=w[x][0]*d%P;f[x][2]=w[x][1]*d*2ll%P;f[x][3]=w[x][2]*d*3ll%P;for(ll e=ls[x];e;e=a[e].next){ll y=a[e].to;if(y==fa)continue;dp(y,x);if(a[e].w){for(ll i=1;i<=siz[x];i++)for(ll j=1;j<=siz[y];j++)(g[i+j]-=f[x][i]*f[y][j]%P)%=P,(g[i]+=f[x][i]*f[y][j]%P)%=P;}else{for(ll i=1;i<=siz[x];i++)for(ll j=1;j<=siz[y];j++)(g[i+j]+=f[x][i]*f[y][j]%P)%=P;}siz[x]+=siz[y];for(ll i=1;i<=siz[x];i++)f[x][i]=g[i],g[i]=0;}for(int i=1;i<=siz[x];i++)f[x][i]=f[x][i]*power(i,P-2)%P;return;
}
signed main()
{scanf("%lld",&n);for(ll i=1;i<=n;i++)scanf("%lld%lld%lld",&w[i][0],&w[i][1],&w[i][2]);for(ll i=1;i<n;i++){ll x,y;scanf("%lld%lld",&x,&y);addl(x,y,0);addl(y,x,1);}dp(1,0);for(ll i=1;i<=siz[1];i++)(ans+=f[1][i])%=P;printf("%lld\n",(ans+P)%P);return 0;
}

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