正题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11179/E

---

题目大意

定义$f(x)$表示$\frac{1}{x}$的混循环节长度（如果没有循环节就是$0$），$T$组询问给出$l,r$求
$$\sum _{i=l}^{r}f(i)$$

$1\le T\le 100,1\le l\le r\le 10^{15}$

---

解题思路

设$a_i$表示$i$位之后的余数，那么出现循环节当且仅当$a_i$出现重复。
$$a_i=a_{i-1}\times 10\%n\Rightarrow a_i=10^i\%n$$
那么出现循环节一定满足存在一个正整数$k$使得
$$a_i\times 10^k\equiv a_i(modn)$$
$$\Rightarrow 10^k\equiv 1(mod\frac{n}{gcd(a_i,n)})$$
我们知道$10^k\equiv 1(modn)$有解当且仅当$gcd(10,n)=1$。

也就是说我们要找到第一个$i$使得$gcd(10,\frac{n}{gcd(a_i,n)})=1$。

而$a_i$每次乘十，所以相当于$n$每次在质因数中去掉一个$2$和$5$，直到和$10$互质。

但是这样还没有结束，因为如果没有循环节就是$0$，而这里则会统计小数的长度，得减去这些情况，不难发现有循环节的话当且仅当存在某个$10^k\%n=0$，也就是说$n$只由$2$和$5$构成，暴力枚举这些数就好了。

时间复杂度：$O(T{\log }_{2}n{\log }_{5}n)$

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll P=998244353;
ll T,l,r;
int Ask(ll n){ll ans=n;for(ll i=1,pw=2;pw<=n;i++,pw=pw*2ll)ans=(ans+n/pw)%P;for(ll i=1,pw=5;pw<=n;i++,pw=pw*5ll)ans=(ans+n/pw)%P;for(ll i=1,pw=10;pw<=n;i++,pw=pw*10ll)ans=(ans-n/pw)%P;for(ll i=1,pw=1;pw<=n;i++,pw=pw*2ll)for(ll j=1,qw=1;pw*qw<=n;j++,qw=qw*5ll)(ans-=max(i,j))%=P;return (ans+P)%P;
}
signed main()
{scanf("%lld",&T);while(T--){scanf("%lld%lld",&l,&r);printf("%lld\n",(Ask(r)-Ask(l-1)+P)%P);}return 0;
}