图的匹配

定义见：OI-Wiki 图的匹配 。

二分图

解法 \(1\) ：网络流(通用)

二分图最大匹配可以转换成最大流(费用流)模型 。

如果使用 \(\operatorname{Dinic}\) 算法求该网络的最大流，复杂度\(O(\sqrt{n}m)\) 。

具体代码见博客文章网络流 。

解法 \(2\) ：匈牙利算法(一般只适合求二分图最大匹配)

即不断寻找增广路，遍历二分图，最坏复杂度为 \(O(nm)\) 。

P3386 【模板】二分图最大匹配 ：

核心代码：

bool dfs(int x)
{for(int i=hea[x];i;i=nex[i]) if(!vis[ver[i]]){vis[ver[i]]=true;if(!match[ver[i]] || dfs(match[ver[i]])){match[ver[i]]=x; return true;}}return false;
}for(int i=1;i<=n;i++)
{memset(vis,false,sizeof(vis));if(dfs(i)) ans++;
}

CF1139E Maximize Mex

参考

性质：

二分图最大独立集

选最多的点，满足两两之间没有边相连。

二分图中，\(\text{最大独立集} = n - \text{最大匹配}\) 。

二分图最小点覆盖

选最少的点，满足每条边至少有一个端点被选，不难发现补集是独立集。

二分图中，\(\text{最小点覆盖} = n - \text{最大独立集}\) 。

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一般图

咕咕咕~