行列式、LGV、矩阵树学习笔记

前置知识：矩阵、高斯消元

行列式

行列式定义

\[\text{det(A)}=\sum_{p}{(-1)^{\mathrm{sgn}(p)}\prod{A_{i,p_i}}} \]

其中 \(\text{sgn}(p)\) 表示排列 \(p\) 的逆序对个数。

行列式性质

进行一次矩阵转职，行列式不变。(易证)
行列式任意一行按比例扩大，行列式的值按同样比例扩大。(易证)
行列式中交换任意两行，行列式反号。(易证)
行列式中若有两行成比例，则行列式值为 \(0\)。(通过第二条证明)
行列式中若有一行可以表示为两个数列相加，则行列式为两个行列式的值的和。(证明如下)

\[\text{det}(A)=\sum_p(-1)^{\mathrm{sgn}(p)}\times(B_{k,p_k}+C_{k,p_k})\times \prod_{i=1}^{n~\text{and}~i\not=k}{a_{i,p_i}}=\mathrm{det}(B)+\mathrm{det}(C) \]

行列式求值

P7112 【模板】行列式求值

根据上面五条性质，可以将矩阵一步步消为左下角全是 \(0\) 的举证，类似于高斯消元。最后将矩阵的对角线乘起来即可。

n=rd(),mod=rd();
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) a[i][j]=rd()%mod;
for(int i=1;i<=n;i++)
{for(int j=i+1;j<=n;j++){while(a[j][i]){ll tmp=a[i][i]/a[j][i];for(int k=i;k<=n;k++)a[i][k]=(a[i][k]-tmp*a[j][k]%mod+mod)%mod;swap(a[i],a[j]),w=-w;}}
}
for(int i=1;i<=n;i++) ans=ans*a[i][i]%mod;
printf("%lld\n",(mod+w*ans)%mod);

LGV 引理(Lindstrom-Gessel-Viennot lemma)

LGV 引理内容

\(G\) 是一个有限的带权有向无环图。每个顶点的度是有限的，不存在有向环(所以路径数量是有限的)。
起点 \(A=\{a_1,\cdots,a_n\}\)，终点 \(B=\{b_1,\cdots,b_n\}\)。
每条边 \(e\) 有边权 \(\omega_e\)。
对于一个有向路径 \(P\)，定义 \(\omega(P)\) 为路径上所有边权的积。
对任意顶点 \(a,b\)，定义 \(e(a,b)=\sum\limits_{P:a \to b}{\omega(P)}\)，所有 \(a\) 到 \(b\) 的路径的 \(\omega\) 之和。

设矩阵

\[M={\begin{pmatrix}e(a_{1},b_{1})&e(a_{1},b_{2})&\cdots &e(a_{1},b_{n})\\e (a_{2},b_{1})&e(a_{2},b_{2})&\cdots &e(a_{2},b_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\e(a_{n},b_{1})&e(a_{n},b_{2})&\cdots &e(a_{n},b_{n})\end{pmatrix}} \]

从 \(A\) 到 \(B\) 的不相交路径组 \(P=(P_1,P_2,\cdots,P_n)\)，\(P_i\) 表示从 \(a_i\) 到 \(b_{\sigma(i)}\) 的一条路径，其中 \(\sigma\) 是一个排列(反映了这个排列的映射关系)，并且满足对任意 \(i\not=j\)，\(P_i\) 与 \(P_j\) 没有公共点。记 \(\sigma(P)\) 表示 \(P\) 对应 \(B\) 的排列。

引理说明，\(M\) 的行列式是所有从 \(A\) 到 \(B\) 的不相交路径 \(P=(P_1,\cdots,P_n)\) 的带符号和。

\[\mathrm{det}(M)=\sum_{P:A\to B}{(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma(P))}\prod_{i=1}^{n}\omega(P_i)} \]

证明

反证法，即只需证明：(其中 \(P:A\rightarrow B\)，存在 \(i\not=j\)，\(P_i\) 与 \(P_j\) 有交点)

\[\mathrm{det}(M)=\sum_{P:A\rightarrow B}(-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma(P))}\prod_{i=1}^{n}{\omega(P_i)}=0 \]

假设存在一个 \(P\)，其中 \(P_i\) 与 \(P_j\) 相交，则 \(a_i\rightarrow b_{\sigma(i)}\) 与 \(a_j\rightarrow b_{\sigma(j)}\) 相交。那么我们将 \(b_{\sigma(i)}\) 与 \(b_{\sigma(j)}\) 互换，最后答案不变而奇偶性相反，一定存在 \(P'=-P\)。因此，如果这一组路径有交点，那么一定被抵消，原命题得证。