正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P3577

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题目大意

给出$n$个点$m$条边的一张图，每个点有费用$C_i$，求选出费用和最小的点使得每个点都至少有一个相邻的点（或自己）被选择。保证图上不存在超过$10$个点的简单路径。

$1\le n\le 20000,1\le m\le 25000$

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解题思路

突破点肯定在于不超过$10$个点的简单路径，可以理解为任意一个点为根时的深度都不超过$10$，因为$dfs$树上所有边都是返祖边，所以考虑状压。

设$f_{i,s}$表示节点$i$所在到根节点的链上的节点状态为$s$时的最小贡献，因为选过的点会影响到下面的节点，所以两维的状态不能够转移，设$0/1/2$表示这个节点选择了/没有选择且没有覆盖/没有选择且被覆盖。

然后转移挺好写的，但是会$MLE$，因为同深度之间的转移相同，所以之间设$f_{d,s}$表示深度为$d$的某个点状态为$s$即可。

时间复杂度：$O(3^{10}n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=2e4+10,S=59059;
struct node{int to,next;
}a[N<<2];
int n,m,tot,cnt,ans,ls[N],q[N];
int dep[N],c[N],f[11][S],pw[11];
bool v[N];
void addl(int x,int y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x,int fa){int cnt=0;v[x]=1;dep[x]=dep[fa]+1;int d=dep[x],MS=pw[dep[x]];if(fa){for(int i=ls[x];i;i=a[i].next)if(v[a[i].to])q[++cnt]=a[i].to;memset(f[d],0x3f,sizeof(f[d]));for(int s=0;s<MS;s++){int No=1,Yes=s;for(int i=1;i<=cnt;i++){if(s/pw[dep[q[i]]]%3==0)No=2;if(s/pw[dep[q[i]]]%3==1)Yes+=pw[dep[q[i]]];}f[d][s+No*pw[d]]=min(f[d][s+No*pw[d]],f[d-1][s]);f[d][Yes]=min(f[d][Yes],f[d-1][s]+c[x]);}}else f[0][0]=c[x],f[0][1]=0,f[0][2]=1e9;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(v[y])continue;dfs(y,x);for(int s=0;s<MS*3;s++)f[d][s]=min(f[d+1][s],f[d+1][s+2*pw[d+1]]);}return;
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);pw[0]=1;for(int i=1;i<=10;i++)pw[i]=pw[i-1]*3;for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&c[i]);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}dep[0]=-1;for(int i=1;i<=n;i++)if(!v[i]){dfs(i,0);ans+=min(f[0][0],f[0][2]);}printf("%d\n",ans);return 0;
}