题目

大中锋的学院要组织学生参观博物馆，要求学生们在博物馆中排成一队进行参观。他的同学可以分为四类：一部分最喜欢唱、一部分最喜欢跳、一部分最喜欢rap，还有一部分最喜欢篮球。如果队列中$k,k+1,k+2,k+3$位置上的同学依次，最喜欢唱、最喜欢跳、最喜欢rap、最喜欢篮球，那么他们就会聚在一起讨论蔡徐坤。大中锋不希望这种事情发生，因为这会使得队伍显得很乱。大中锋想知道有多少种排队的方法，不会有学生聚在一起讨论蔡徐坤。两个学生队伍被认为是不同的，当且仅当两个队伍中至少有一个位置上的学生的喜好不同。由于合法的队伍可能会有很多种，种类数对998244353取模。

输入格式
输入数据只有一行。每行5个整数，第一个整数n，代表大中锋的学院要组织多少人去参观博物馆。接下来四个整数a、b、c、d，分别代表学生中最喜欢唱的人数、最喜欢跳的人数、最喜欢rap的人数和最喜欢篮球的人数。保证$a+b+c+d\ge n$。

输出格式
每组数据输出一个整数，代表你可以安排出多少种不同的学生队伍，使得队伍中没有学生聚在一起讨论蔡徐坤。结果对$998244353$取模。

输入输出样例
输入
4 4 3 2 1
输出
174

输入
996 208 221 132 442
输出
442572391

说明/提示
对于20%的数据，有$n=a=b=c=d\le 500$
对于100%的数据，有$n\le 1000$ ， $a,b,c,d\le 500$

题解

考虑枚举有$i$堆人在讨论cxk小姐姐，那么被cxk迷倒的人就有$4i$个，且每一堆人是挨在一起的，
所以我们可以把这$4i$个人缩成$i$个群体，每一个群体可以展开成为$4$人
那么现在就只用考虑剩下的$n-3i$人，放置的方案数就是$$C_{n-3i}^i$$
简单用整体法证明一下：
在$n-3i$人中，要选$i$个拿来讨论，$n-4i$个不讨论，方案数是对应的$$C_{n-3i}^i=C_{n-3i}^{n-4i}$$
也可以理解为在$n-3i$个空格里面找$i$个起点开始讨论小姐姐

---

接着枚举好了$i$及它们可能出现的地方$C_{n-3i}^i$，我们就要去考虑剩下$n-4i$人的排列，可以乱来
$$(n-4i)!$$
但是$attention$，如果看了我的上一篇指数型生成函数专练，就会与这里有一点相通
题目说的方案数不同的要求是至少有一个位置上的学生的喜好不同，而不是学生本人不同
所以我们要除掉喜好篮球，跳舞，唱歌，rap本身内部的乱拍，因为从爱好上来看是看不出来排列不同的
设$a,b,c,d$分别代表学生中最喜欢唱的人数、最喜欢跳的人数、最喜欢rap的人数和最喜欢篮球的总人数，我们考虑的是剩下的不讨论cxk姐姐的学生乱排，所以要剪掉外层所枚举的去参与讨论的人数
$$\frac{(n-4i)!}{(a-i)!(n-i)!(c-i)!(d-i)!}$$

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最后写出每种喜好的生成函数，以喜欢篮球的人为例：
$$\sum _{i=0}^c\frac{x^i}{i!}$$
把四种爱好卷起来，卷出最后乘积的第$n-4i$项就是我们需要除掉的东西，乘上$(n-4i)!$就是真正的乱排数

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因为带取模，所以是用$NTT$跑，除的话就要变成乘逆元，所以我们可以在卷的时候就直接卷逆元

但是我们又发现虽然假设的是$i$堆人在讨论，但是统计答案的时候却把$\ge i$堆人讨论的情况都统计了
而且当统计$i=1$时，会算两遍至少两堆人讨论的方案，三遍至少三堆人讨论的方案…在统计$i=2$时，会算三遍至少三堆人讨论的方案…
当统计$i$的方案时，会多算$C_j^i$次至少$j$堆人讨论的方案，所以我们可以用容斥来解决

---

总结一下答案应该是
$$\sum _{i=0}^{min}(-1{)}^i\ast C_{n-3i}^i\ast \frac{(n-4i)!}{(a-i)!(n-i)!(c-i)!(d-i)!}$$

code1（NTT）

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define mod 998244353
#define LL long long
#define MAXN 10005
int n, anum, bnum, cnum, dnum;
LL pi, ni, result;
LL a[MAXN], b[MAXN], c[MAXN], d[MAXN], rev[MAXN], fac[MAXN], Invfac[MAXN];LL qkpow ( LL x, LL y ) {LL ans = 1;while ( y ) {if ( y & 1 )ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans;
}LL C ( int n, int m ) {return fac[n] * Invfac[m] % mod * Invfac[n - m] % mod;
}void NTT ( LL *c, LL limit, LL f ) {for ( LL i = 0;i < limit;i ++ )if ( i < rev[i] )swap ( c[i], c[rev[i]] );for ( LL i = 1;i < limit;i <<= 1 ) {LL omega = qkpow ( f == 1 ? pi : ni, ( mod - 1 ) / ( i << 1 ) );for ( LL j = 0;j < limit;j += ( i << 1 ) ) {LL w = 1;for ( LL k = 0;k < i;k ++, w = w * omega % mod ) {LL x = c[k + j], y = w * c[i + j + k] % mod;c[k + j] = ( x + y ) % mod;c[k + j + i] = ( x - y + mod ) % mod;}}}LL inv = qkpow ( limit, mod - 2 );if ( f == -1 )for ( LL i = 0;i < limit;i ++ )c[i] = c[i] * inv % mod;
}void init () {Invfac[0] = fac[0] = 1;for ( int i = 1;i <= n;i ++ )fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;Invfac[n] = qkpow ( fac[n], mod - 2 );for ( int i = n - 1;i;i -- )Invfac[i] = Invfac[i + 1] * ( i + 1 ) % mod;
}LL solve ( int n, int A, int B, int C, int D ) {LL len = 1, l = 0;while ( len < ( ( A + B + C + D ) << 1 ) ) {len <<= 1;l ++;}for ( LL i = 0;i < len;i ++ )rev[i] = ( rev[i >> 1] >> 1 ) | ( ( i & 1 ) << ( l - 1 ) );for ( int i = 0;i < len;i ++ )a[i] = ( i <= A ? Invfac[i] : 0 );for ( int i = 0;i < len;i ++ )b[i] = ( i <= B ? Invfac[i] : 0 );for ( int i = 0;i < len;i ++ )c[i] = ( i <= C ? Invfac[i] : 0 );for ( int i = 0;i < len;i ++ )d[i] = ( i <= D ? Invfac[i] : 0 );NTT ( a, len, 1 );NTT ( b, len, 1 );NTT ( c, len, 1 );NTT ( d, len, 1 );for ( int i = 0;i < len;i ++ )a[i] = a[i] * b[i] % mod * c[i] % mod * d[i] % mod;NTT ( a, len, -1 );return a[n] * fac[n] % mod;
}int main() {pi = 3;ni = mod / pi + 1;scanf ( "%d %d %d %d %d", &n, &anum, &bnum, &cnum, &dnum );init();int k = min ( min ( min ( min ( anum, bnum ), cnum ), dnum ), n / 4 );anum -= k;bnum -= k;cnum -= k;dnum -= k;result = 0;for ( k;k >= 0;k -- ) {LL tmp = C ( n - 3 * k, k ) % mod * solve ( n - 4 * k, anum, bnum, cnum, dnum ) % mod;anum ++;bnum ++;cnum ++;dnum ++;result = ( result + ( ( k & 1 ) ? mod - tmp : tmp ) ) % mod;}printf ( "%lld\n", result );return 0;
}

code2（EGF+卷积）

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define mod 998244353
#define LL long long
#define MAXN 1005
int n, a, b, c, d;
LL result;
LL foldAB[MAXN], foldCD[MAXN], fac[MAXN], Invfac[MAXN];LL qkpow ( LL x, LL y ) {LL ans = 1;while ( y ) {if ( y & 1 )ans = ans * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return ans;
}LL C ( int n, int m ) {return fac[n] * Invfac[m] % mod * Invfac[n - m] % mod;
}void Fac () {Invfac[0] = fac[0] = 1;for ( int i = 1;i <= n;i ++ )fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;Invfac[n] = qkpow ( fac[n], mod - 2 );for ( int i = n - 1;i;i -- )Invfac[i] = Invfac[i + 1] * ( i + 1 ) % mod;
}int main() {scanf ( "%d %d %d %d %d", &n, &a, &b, &c, &d );Fac();int k = min ( min ( min ( min ( a, b ), c ), d), n / 4 );a -= k;b -= k;c -= k;d -= k;for ( int i = 0;i <= a;i ++ )for ( int j = 0;j <= b;j ++ )foldAB[i + j] = ( foldAB[i + j] + Invfac[i] * Invfac[j] % mod ) % mod;for ( int i = 0;i <= c;i ++ )for ( int j = 0;j <= d;j ++ )foldCD[i + j] = ( foldCD[i + j] + Invfac[i] * Invfac[j] % mod ) % mod;result = 0;for ( k;k >= 0;k -- ) {LL ans = 0;int tp = n - 4 * k;for ( int i = 0;i <= tp;i ++ )ans = ( ans + foldAB[i] * foldCD[tp - i] % mod ) % mod;ans = ans * fac[tp] % mod * C ( n - k * 3, k ) % mod;result = ( result + ( ( k & 1 ) ? mod - ans : ans ) ) % mod;a ++;b ++;c ++;d ++;for ( int i = 0;i <= a;i ++ )foldAB[i + b] = ( foldAB[i + b] + Invfac[i] * Invfac[b] % mod ) % mod;for ( int i = 0;i <= b;i ++ )foldAB[i + a] = ( foldAB[i + a] + Invfac[i] * Invfac[a] % mod ) % mod;foldAB[a + b] = ( foldAB[a + b] - Invfac[a] * Invfac[b] % mod + mod ) % mod;for ( int i = 0;i <= c;i ++ )foldCD[i + d] = ( foldCD[i + d] + Invfac[i] * Invfac[d] % mod ) % mod;for ( int i = 0;i <= d;i ++ )foldCD[i + c] = ( foldCD[i + c] + Invfac[i] * Invfac[c] % mod ) % mod;foldCD[c + d] = ( foldCD[c + d] - Invfac[c] * Invfac[d] % mod ) % mod;}printf ( "%lld\n", result );return 0;
} 

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