莫比乌斯反演做题记录

来自Peterwuyihong 的题单。

前置知识

前置芝士1 数论分块

UVA11526 H(n)

P2261 [CQOI2007]余数求和

P2260 [清华集训2012]模积和

其中有一个式子需要注意一下：
\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{m}{i}\right\rfloor=\left(\sum_{i=1}^n\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor\right)\times\left(\sum_{j=1}^m\left\lfloor\dfrac{m}{i}\right\rfloor\right) \]

P3935 Calculating

最重要的一部分就是计算 \(1\) 到 \(n\) 内每个数的约数个数之和，这样不是很好做，考虑枚举约束。
\[\sum_{i=1}^{n}\sigma_0(i)=\sum_{d=1}^{n}\left\lfloor\dfrac{n}{d}\right\rfloor \]

前置芝士2 线性筛

P2158 [SDOI2008]仪仗队

SP526 DIV - Divisors

P4626 一道水题 II

SP22461 SMALL - Smallest Number

CF1017F The Neutral Zone论如何选择筛法

以及你的算法优化技巧与数学能力

P6810 「MCOI-02」Convex Hull 凸包

P5495 Dirichlet 前缀和

P6788 「EZEC-3」四月樱花

莫比乌斯反演

就是把一个看起来只能暴力算的柿子化成一个可以一下子算出来或者数论分块可以算出来的东西

以下都默认 \(n\le m\)

形式1

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=1]&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{x|i}\sum_{x|j}\mu(x)\\ &=\sum_{x=1}^n\mu(x)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[x|i~\texttt{and}~x|j]\\ &=\sum_{x=1}^n\mu(x)\left\lfloor {n\over x}\right\rfloor\left\lfloor {m\over x}\right\rfloor \end{aligned} \]

数论分块即可 \(O(n)\) 预处理， \(O(\sqrt n)\) 单次询问。

形式2

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\gcd(i,j)&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{x|i}\sum_{x|j}\varphi(x)\\ &=\sum_{x=1}^n\varphi(x)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[x|i~\texttt{and}~x|j]\\ &=\sum_{x=1}^n\varphi(x)\left\lfloor {n\over x}\right\rfloor\left\lfloor {m\over x}\right\rfloor \end{aligned} \]

数论分块即可 \(O(n)\) 预处理， \(O(\sqrt n)\) 单次询问。

形式3

\[\begin{aligned} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(\gcd(i,j))&=\sum_{d=1}^nf(d)\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[\gcd(i,j)=d]\\ &=\sum_{d=1}^nf(d)\sum_{i=1}^{\lfloor{n\over d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor{m\over d}\rfloor}[\gcd(i,j)=1]\\ &=\sum_{d=1}^nf(d)\sum_{k=1}^{\lfloor{n\over d}\rfloor}\mu(k)\left\lfloor {n\over dk}\right\rfloor\left\lfloor {m\over dk}\right\rfloor\text{，然后令}dk=T\\ &=\sum_{T=1}^n\left\lfloor {n\over T}\right\rfloor\left\lfloor {m\over T}\right\rfloor\sum_{d|T}f(d)\mu\left({T\over d}\right) \end{aligned} \]

数论分块即可 \(O(n)\) 预处理， \(O(\sqrt n)\)单次询问。

莫比乌斯反演形式千千万，要多做才能做出感觉来。

莫比乌斯反演优化多次/单次询问

疯狂 LCM

LCMSUM - LCM Sum(2倍经验)

loj LCMSUM(3倍经验)

P2398 GCD SUM

P1390 公约数的和(2倍经验)

SP21615 NAJPWG - Playing with GCD

SP3871 GCDEX - GCD Extreme

AT5310 [ABC162E] Sum of gcd of Tuples (Hard)(难度绿？？？我大不服

莫反加整除分块

P3455 [POI2007]ZAP-Queries

P2522 [HAOI2011]Problem b

SP26017 GCDMAT - GCD OF MATRIX

SP26045 GCDMAT2 - GCD OF MATRIX (hard)(卡常，慎入！！

VLATTICE - Visible Lattice Points

杜教筛

\(\sum_{i=1}^nf(i),f\) 为积形函数

主要思路就是构造一个积形函数\(g\)，使得它本身前缀和与

\[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(d)g\left(\frac{i}{d}\right) \]

好算一点

那么我们有

\[\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(d)g\left(\frac{i}{d}\right)=\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(k)\\ g(1)\sum_{k=1}^nf(k)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}f(d)g\left(\frac{i}{d}\right)-\sum_{d=2}^ng(d)\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(k) \]

递归计算即可，当然可以预处理，具体见wiki写的