正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5327

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题目大意

给出$n$个点的一棵树，和$m$条路径，求有多少个点对至少存在一条路径经过它们。

$1\le n,m\le 10^5$

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解题思路

有一个很显然的性质，如果点$z$在$x\to y$的路径上，并且$(x,z)$不合法，那么$(x,y)$肯定不合法。

所以这样的对于一个节点$x$来说所有和它合法的点会形成一棵生成树，这棵生成树是哪来的也很好说，我们把所有经过$x$的路径$s\to t$的$s$和$t$存下来，构出一棵虚树，这棵虚树的大小就是对于这个点来说合法的点个数。

虚树的大小怎么求，这个方法很多，而我们尽量使用一种比较方便动态维护的方法，把所有点按照$dfs$序排序，假设节点$x$之后排的是$y$（定义第一个之前排的是最后一个），那么就是所有$de{p}_y-de{p}_{lca(x,y)}$的和。

不难发现这个东西可以在序列上维护，同理的可以在线段树上维护，每个区间记录$dfs$最小的和最大的点就好了。

那么做法已经很显然了，一条路径经过的点我们可以用树上差分来做到也就是$s\leftrightarrow lca(s,t)$和$t\leftrightarrow lca(s,t)$的部分。

然后两个子树的信息合并的时候用线段树合并就好了。

写了个$RMQ$来快速求$LCA$。

时间复杂度：$O(n\log n)$

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=1e5+10,M=N*20*4;
struct node{int to,next;
}a[N<<1];
int n,m,tot,cnt,dfc,ls[N],dep[N],rt[N];
int dfn[N],rfn[N],rgn[N],lg[N<<1],f[N<<1][19];
vector<int> v[N],g[N];
long long ans;
void addl(int x,int y){a[++tot].to=y;a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x,int fa){dep[x]=dep[fa]+1;dfn[++dfc]=x;rfn[x]=dfc;rgn[x]=++cnt;f[cnt][0]=x;for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa)continue;dfs(y,x);f[++cnt][0]=x;}return;
}
int LCA(int x,int y){int l=rgn[x],r=rgn[y];if(l>r)swap(l,r);int z=lg[r-l+1];x=f[l][z];y=f[r-(1<<z)+1][z];return (dep[x]<dep[y])?x:y;
}
int calc(int x,int y){if(!x||!y)return 0;return dep[y]-dep[LCA(x,y)];
}
struct SegTree{int cnt,w[M],s[M],lp[M],rp[M],ls[M],rs[M];void Merge(int x,int ls,int rs){s[x]=s[ls]+s[rs]+calc(rp[ls],lp[rs]);lp[x]=lp[ls]?lp[ls]:lp[rs];rp[x]=rp[rs]?rp[rs]:rp[ls];return;}void Change(int &x,int L,int R,int pos,int val){if(!x)x=++cnt;if(L==R){w[x]+=val;if(w[x])lp[x]=rp[x]=dfn[pos];else lp[x]=rp[x]=0;return;}int mid=(L+R)>>1;if(pos<=mid)Change(ls[x],L,mid,pos,val);else Change(rs[x],mid+1,R,pos,val);Merge(x,ls[x],rs[x]);return;}int Merge(int x,int y,int L,int R){if(!x||!y)return x+y;if(L==R){w[x]=w[x]+w[y];if(w[x])lp[x]=rp[x]=dfn[L];else lp[x]=rp[x]=0;return x;}int mid=(L+R)>>1;ls[x]=Merge(ls[x],ls[y],L,mid);rs[x]=Merge(rs[x],rs[y],mid+1,R);Merge(x,ls[x],rs[x]);return x;}
}T;
void solve(int x,int fa){for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){int y=a[i].to;if(y==fa)continue;solve(y,x);rt[x]=T.Merge(rt[x],rt[y],1,n);}for(int i=0;i<v[x].size();i++)T.Change(rt[x],1,n,v[x][i],1);ans+=T.s[rt[x]]+dep[T.lp[rt[x]]]-dep[LCA(T.lp[rt[x]],T.rp[rt[x]])]+1;for(int i=0;i<g[x].size();i++)T.Change(rt[x],1,n,g[x][i],-2);return;
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1,x,y;i<n;i++){scanf("%d%d",&x,&y);addl(x,y);addl(y,x);}dfs(1,0);for(int j=1;(1<<j)<=cnt;j++)for(int i=1;i+(1<<j)-1<=cnt;i++){int x=f[i][j-1],y=f[i+(1<<j-1)][j-1];f[i][j]=(dep[x]<dep[y])?x:y;}for(int i=2;i<=cnt;i++)lg[i]=lg[i>>1]+1;for(int i=1,x,y;i<=m;i++){scanf("%d%d",&x,&y);v[x].push_back(rfn[x]);v[x].push_back(rfn[y]);v[y].push_back(rfn[x]);v[y].push_back(rfn[y]);int lca=LCA(x,y);g[lca].push_back(rfn[x]);g[lca].push_back(rfn[y]);}solve(1,0);printf("%lld\n",(ans-n)/2ll);return 0;
}