YbtOJ-序列计数【组合数学,莫队】

正题

题目大意

求有多少个长度在 $l, r$ 之间，值域是 $[1, n]$ 的严格上升子序列

$1≤T,n≤105,1≤l≤r≤1051\leq T,n\leq 10^5,1\leq l\leq r\leq 10^5$

解题思路

先转换成两个前缀和的差，那么相当于我们要快速求
$∑i=0m(ni)\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}$
的值。

考虑到我们有组合数恒等式 $(nm)=(n−1m−1)+(n−1m)\binom n m=\binom{n-1}{m-1}+\binom{n-1}{m}$ 。

如果我们知道了 $F(n,m)=∑i=0m(ni)F(n,m)=\sum_{i=0}^m\binom{n}{i}$ ，那么有 $F(n+1,m)=2F(n,m)−(nm)F(n+1,m)=2F(n,m)-\binom{n}{m}$ （也就是相当于复制一份左移一位相加）。

然后 $F (n, m)$ 都可以 $O (1)$ 移动 $n, m$ 了，直接上莫队。

时间复杂度： $O(nn)O(n\sqrt n)$

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=5e5+10,P=998244353,T=500;
struct node{ll id,r,x;
}a[N];
ll n,m,fac[N],inv[N],ans[N];
ll C(ll n,ll m)
{return fac[n]*inv[m]%P*inv[n-m]%P;}
bool cmp(node x,node y){if(x.x/T==y.x/T)return x.r<y.r;return x.x/T<y.x/T;
}
signed main()
{freopen("sequence.in","r",stdin);freopen("sequence.out","w",stdout);inv[0]=inv[1]=fac[0]=1;for(ll i=2;i<N;i++)inv[i]=P-inv[P%i]*(P/i)%P;for(ll i=1;i<N;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%P,inv[i]=inv[i-1]*inv[i]%P;scanf("%lld",&m);for(ll i=1;i<=m;i++){ll l,r,x;scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&x);a[++n]=(node){i,r,x};a[++n]=(node){-i,l-1,x};}sort(a+1,a+1+n,cmp);ll x=0,r=0,sum=1;for(ll i=1;i<=n;i++){while(x<a[i].x)sum=(sum*2ll-C(x,r))%P,x++;while(x>a[i].x)x--,sum=(P+1)/2*(sum+C(x,r))%P;while(r<a[i].r)r++,(sum+=C(x,r))%=P;while(r>a[i].r)(sum-=C(x,r))%=P,r--;(ans[abs(a[i].id)]+=sum*(a[i].id/abs(a[i].id))%P)%=P;}for(ll i=1;i<=m;i++)printf("%lld\n",(ans[i]+P)%P);return 0;
}