所谓杜教筛，就是dms教给我们的筛

（逃）

前言

与其说算法，不如说是技巧。
可以在低于线性的时间复杂度（准确的说是 $O(n^{\frac{2}{3}})$）内完成对积性函数的前缀和计算。

解析

考虑求函数 $f$ 的前缀和：
$$S(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$$
寻找另一个函数 $g$，设 $h=f\ast g$，那么有：
$$\begin{gathered} \sum _{i=1}^{n}h(i)=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}g(d)f(\frac{i}{d}) \\ =\sum _{d=1}^{n}g(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(i) \\ =\sum _{d=1}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ) \end{gathered}$$。
尝试凑出 $S(n)$:
$$\begin{gathered} g(1)S(n)=\sum _{d=1}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )-\sum _{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ) \\ =\sum _{d=1}^{n}h(d)-\sum _{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor ) \end{gathered}$$
后面的 $S$ 就可以递归求解了。

时间复杂度

按照上面的式子，可以写出时间复杂度的递推式：
$$T(n)=O(\sqrt{n})+\sum _{i=2}^{\sqrt{n}}(T(i)+T(\frac{n}{i}))$$
由于再往下递归就是高阶小量，我们只需要展开一层：
$$T(n)=O(\sqrt{n})+\sum _{i=2}^{\sqrt{n}}(O(\sqrt{i})+O(\sqrt{\frac{n}{i}}))$$
由于 $O(\sqrt{i})+O(\sqrt{\frac{n}{i}})\ge O(2\sqrt{\sqrt{n}})=O(n^{\frac{1}{4}})$，所以总的复杂度大概是 $O(n^{\frac{3}{4}})$。

考虑先用线性筛预处理出一部分前缀和。
由于算法本身根号分治就有 $O(\sqrt{n})$，所以不妨设预处理的范围 $m>\sqrt{n}$。
那么时间复杂度就变成了：
$$\begin{gathered} T(n)=O(m)+O(\sqrt{n})+\sum _{i=2}^{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }T(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor ) \\ =O(m)+O(\sqrt{n})+\sum _{i=2}^{\lfloor \frac{n}{m}\rfloor }O(\sqrt{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }) \\ =O(m)+O(\sqrt{n})+{\int }_0^{\frac{n}{m}}\sqrt{\frac{n}{x}} \\ =O(m)+O(\sqrt{n})+f(\frac{n}{m})(f(x)=\sqrt{nx}) \\ =O(m)+O(\sqrt{n})+O(\frac{n}{\sqrt{m}}) \\ \ge O(n^{\frac{2}{3}}) \end{gathered}$$
当 $m=n^{\frac{2}{3}}$ 时取等。

应用

如何使用杜教筛呢？

举个例子：计算 ${\sum }_{i=1}^n\mu (i)$。
我们把刚才的核心式子拿下来：

$$g(1)S(n)=\sum _{d=1}^{n}h(d)-\sum _{d=2}^{n}g(d)S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$
首先，我们需要使 ${\sum }_{d=1}^{n}h(d)$ 可以很容易的求出来，不然就没有意义了。
同时，我们最好也能让 $g$ 函数简单一些。
想到：$\mu \ast 1=e$。
令 $g=1,h=e$，就很好的满足了我们的要求。
式子变成：
$$S(n)=1-\sum _{d=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$$
非常简洁，直接求解即可。
实现上，需要开一个 map 或者哈希表进行记忆化。

代码

ll getmu(int n){if(n<=w) return sum1[n];if(mp1.count(n)) return mp1[n];ll ans=1;for(ll l=2,r;l<=n;l=r+1){assert(n/l);r=n/(n/l);ans-=(r-l+1)*getmu(n/l);}return mp1[n]=ans;
}