[2021-09-09 T3] 序列/luogu P3943 星空(异或差分+bfs最短路+状压dp)

序列

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题目描述

长度为nnn的序列,初始全为000,每次可以选择⼀个数ai(1≤i≤l)a_i(1\le i\le l)ai(1il),然后选择连续aia_iai个元素异或上111

求最少的次数,使得对于所有i(1≤i≤k)i(1\le i\le k)i(1ik)满足第iii个位置是111,其他的位置都是000

输入格式

第⼀行三个数n,m,kn,m,kn,m,k

第二行kkk个数分别表示x1,x2,...,xkx_1,x_2,...,x_kx1,x2,...,xk

第三行lll个数分别表示a1,a2,...ala_1,a_2,...a_la1,a2,...al

输出格式

一个数表示答案,若不能达到输出-1

样例

10 2 3
1 2
6 10 4
2

数据范围

n≤10000,k≤10,l≤100n\le 10000,k\le 10,l\le 100n10000,k10,l100

solution

异或常见有两种处理

  • 0-1异或类,权值只有01

    显然某位异或偶数次相当于没操作,这就可以转化成差分

  • 普通异或类

    按二进制拆位做,每位答案是独立的

此题就是差分做法

e.g. 目标结果:1 0 0 1 1 0,相邻两位权值不同就要差分出来

操作一段长为aia_iai的段,就相当于在pos,pos+aipos,pos+a_ipos,pos+ai两个位置异或111

本题kkk范围极小,差分出来最多也就202020个位置

考虑从最后的状态用最少操作数变成全000的初始状态

这相当于一张n+1n+1n+1点姻缘图,在差分2k2k2k个位置上有人,位置相差为aia_iai的点对间有无向边,人沿着边移动,两人相遇牵手成功离开,求最少走过的边数,使得每个人都能找到自己的心动嘉宾

bfs处理出,每个人到达所有点走过的最少边数,到不了就置为inf

总人数不多,可以状压dp枚举每次是哪两个人牵手成功,转移即可

code

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
queue < pair < int, int > > q;
int n, k, l, cnt;
int dis[22][100002];
int x[100002], a[105], c[25];
int dp[1 << 22];int dfs( int s ) {if( ! s ) return 0;if( dp[s] ^ inf ) return dp[s];int &ans = dp[s], x = __builtin_ctz( s );for( int y = cnt - 1;y > x;y -- )if( 1 << y & s ) {int t = dfs( s ^ ( 1 << y ) ^ ( 1 << x ) );ans = min( ans, t + dis[x][c[y]] );}return ans;
}int main() {scanf( "%d %d %d", &n, &k, &l );for( int i = 1, pos;i <= k;i ++ ) {scanf( "%d", &pos );x[-- pos] = 1;}for( int i = 1;i <= l;i ++ )scanf( "%d", &a[i] );if( x[0] ) c[cnt ++] = 0;for( int i = 1;i <= n;i ++ )if( x[i] ^ x[i - 1] ) c[cnt ++] = i;if( cnt & 1 ) return ! printf( "-1" );memset( dp, 0x3f, sizeof( dp ) );memset( dis, 0x3f, sizeof( dis ) );for( int i = 0, j, d, pos;i < cnt;i ++ ) {dis[i][c[i]] = 0;q.push( make_pair( 0, c[i] ) );while( ! q.empty() ) {d = q.front().first, pos = q.front().second; q.pop();for( k = 1;k <= l;k ++ ) {j = pos + a[k];if( j <= n and dis[i][j] == inf )dis[i][j] = d + 1, q.push( make_pair( d + 1, j ) );j = pos - a[k];if( j >= 0 and dis[i][j] == inf )dis[i][j] = d + 1, q.push( make_pair( d + 1, j ) );}}}int ans = dfs( ( 1 << cnt ) - 1 );printf( "%d\n", ans == inf ? -1 : ans );return 0;
}

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