所谓群论，就是对群体行为问题的讨论。

（逃）

前言

个人学起来比较困难的一部分。
主要的难点在于抽象，常常会陷入虚空…
但当发现理论推出来的花里胡哨的东西和事实相符时还是挺爽的。
行文中如果有错误或者不严谨的地方，欢迎指正，感谢。
没怎么看懂但也许有用的网站

群

基本定义：

群是由非空集合 $G$ 和关于 $G$ 的二元运算 $\cdot$ 组成的代数结构，满足如下性质：

1. 封闭性。$a,b\in G\Rightarrow a\cdot b\in G$
2. 结合律。$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
3. 标识元（单位元）。$G$ 中存在一个元素 $e$，使得 $\forall a\in G,a\cdot e=e\cdot a=a$，这样的元素是独一无二的。
4. 逆元。$\forall a\in G,\exists b\in G,a\cdot b=e$。此时称 $b$ 为 $a^{-1}$。

子群

对于一个群 $(G,\times )$，若 $H$ 为 $G$ 的一个子集，且 $(H,\times )$ 也构成一个群，则称 $(H,\times )$ 为 $(G,\times )$ 的一个子群。记为 $H\le G$。
$G$ 和 {e}\{e\}{e} 称为 $G$ 的两个平凡子群。
子群检验法：$H\le G\iff \forall h,g\in H,h\cdot g^{-1}\in H$。

陪集

若 $H\le G,g\in G$，则称 Hg={h⋅g,h∈H}Hg=\{h\cdot g,h\in H\}Hg={h⋅g,h∈H} 为 $H$ 在 $G$ 内关于 $g$ 的右陪集（左陪集就是在左边，同理）
陪集具有如下性质：

1. $|Hg|=|H|$

因为对于 $h1,h2\in H,h1\ne h2$，都有 $g\cdot h1\ne g\cdot h2$。

2. $g\in Hg$

因为 $e\in H$。

3. $Hg=H\iff g\in H$

左往右：由于性质二，$g\in Hg$；若 $g\notin H$，不可能有 $Hg=H$。
右往左：由于封闭性，$Hg$ 不可能取到 $H$ 之外的元素；对于 $\forall h1\in H$，设 $h1\cdot g^{-1}=h2\in H$。则有 $h1=h2\cdot g$，所以 $h1\in Hg$。

4. $Ha=Hb\iff a\cdot b^{-1}\in H$

左往右：因为 $\forall h1\in H,\exists h2\in H,h1\cdot a=h2\cdot b$，也就有 $a\cdot b^{-1}=h2\cdot h{1}^{-1}$，而 $h2\cdot h{1}^{-1}\in H$。
右往左：$\forall h1\in H,h1\cdot a\in Ha,\exists h2=h1\cdot (a\cdot b^{-1})\in H\to h1\cdot a=h2\cdot b,h2\cdot b\in Hb$。（其实就是左往右反过来推）

5. $Ha\cap Hb\ne \varnothing \to Ha=Hb$

$Ha\cap Hb\ne \varnothing \to \exists h1,h2\in H,h1\cdot a=h2\cdot b\to a\cdot b^{-1}=h2\cdot h{1}^{-1}\in H\to Ha=Hb$

6. $H$ 的所有右陪集的并集为 $G$。

由于封闭性，不可能取到 $G$ 之外的元素。
由于 $e\in H$，$g$ 取遍 $G$ 的所有元素就可以保证 $G$ 的所有元素都被取到。

拉格朗日定理

$H\le G\Rightarrow |H|$ 整除 $|G|$。

结合陪集的性质即可得。由性质 $1,5,6$，$H$ 所有本质不同的陪集互不相交，大小均为 $|H|$，共同组成了 $G$。$\frac{|G|}{|H|}$ 也就是 $H$ 本质不同陪集的数量。

正规子群

若 $H\le G$，且 $\forall a\in G,aH=Ha$，则称 $H$ 是 $G$ 的正规子群。平凡子群总是正规子群。

交换群

又称为阿贝尔群，简单说就是在满足群基本性质的基础上，运算又满足交换律的群。
交换群的所有子群都是正规子群。

商群

设 $H$ 是 $G$ 的正规子群，定义 G/H={gH,g∈G}G/H=\{gH,g\in G\}G/H={gH,g∈G}。
商群可以理解为一种划分，由拉格朗日定理，$G/H$ 由 $\frac{|G|}{|H|}$ 个大小为 $|H|$，互不相交的群组成。

阶

群 $G$ 中元素 $x$ 的阶等于最小的正整数 $d$，使得 $x^d=e$，有限群中元素的阶一定存在。
有限群的阶定义为群内元素的个数，无限群的阶规定为 $0$。
阶的一些性质：

1. 群 $G$ 中元素 $x$ 的阶整除 $G$ 的阶。

构造一个 $G$ 的子群 H={e,x,x2,...,xd−1}H=\{e,x,x^2,...,x^{d-1}\}H={e,x,x2,...,xd−1}，$|H|=d$，由拉格朗日定理 $d$ 整除 $|G|$。

2. 若 $G$ 中两个元素 $a,b$ 的阶 $m,n$ 互素，则 $a^s{b}^t=e\Rightarrow a^s=e\&b^t=e$。

由条件有 $a^s=b^{-t}$，同时 $m$ 次方：$b^{-tm}=a^{sm}=(a^m{)}^s=e$，由于 $\gcd (m,n)=1$，就有 $b^{-t}=e$，即 $b^t=e$。$a^s=e$ 同理。

3. 若 $g1,g2\in G$ 的阶分别为 $d1,d2$，则存在一个元素 $g\in G$，其阶为 $lcm(d1,d2)$。

设 $\gcd (d1,d2)=d$。考虑元素 $g{1}^d\cdot g2$。其中 $g{1}^d$ 和 $g2$ 的阶数互质。由性质二，$g{1}^d\cdot g2$ 的阶数就是 $\frac{d1}{d}\times d2=lcm(d1,d2)$。

置换

定义

有限集合到自身的双射（即一一对应）称为置换。
可以表示为：$\left(\begin{array}{c}1,2,3,\dots ,n\\ a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n\end{array}\right)$，表示把第 $a_i$ 个元素映射到位置 $i$。在第一行为 $1,2,3...$ 时，可以省去第一行。
置换 $f$ 作用与状态 $a$，写作 $f\ast a$。（这个写法似乎各处并不一样）
例：
$$(3,2,1,4)\ast (a,b,c,d)=(c,b,a,d)$$

置换的乘法

定义 $f1\ast f2$ 表示先进行 $f2$，再进行 $f1$。
$(a_1,a_2,...,a_n)\ast (b_1,b_2,...,b_n)=(b_{a_1},b_{a_2},...,b_{a_n})$
例：
$$(3,2,1,4)\ast (2,1,3,4)=(3,1,2,4)$$

循环

如果一个置换形如 $\left(\begin{array}{c}{a}_1,a_2,a_3,...,a_{n-1},a_n\\ a_2,a_3,a_4,...,a_n,a_1\end{array}\right)$，则称其为一个循环。
如果两个循环不包含相同元素，则称它们为不相交的。
任何置换都由若干个不相交置换的乘积。

置换群

元素个数为 $n$ 的所有排列的集合 $N$ 与置换乘法组成一个群 $(N,\ast )$。
其子群称为置换群。
其中的单位元又叫做恒等置换 $I$。

群作用

对于一个群 $(G,\ast )$ 和集合 $N$，给出一个二元函数 $\phi (g,n)$，满足如下性质：

1. $\phi (e,n)=n$
2. $\phi (a,\phi (b,n))=\phi (a\ast b,n)$

则称群 $G$ 作用于集合 $N$。
（如果你没明白这个定义想干什么，可以把 $G$ 想成置换群，把 $N$ 想成状态）

等价类

若一个状态可以通过置换群内的某个置换到达另一个状态，则称它们属于同一个等价类（也就是本质相同）。

不动点

若 $f\ast x=x$，则称 $x$ 为 $f$ 的一个不动点。

Burnside引理

重头戏来勒！

内容

对于作用于集合 $X$ 的群 $G$。
设 $X/G$ 为在 $G$ 作用下等价类的集合。（这里虽然并不满足商群的定义，但是写成形式化语言后长的非常像，即 {Gx,x∈X}\{Gx,x\in X\}{Gx,x∈X}）
则有：
$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|X^g|$$
其中 Xg={x∣g∗x=x,x∈X}X^g=\{x|g*x=x,x\in X\}Xg={x∣g∗x=x,x∈X}

证明

法1 轨道-稳定子定理

对于一个置换群 $G$ 和状态 $x$，定义 G(x)={g∗x,g∈G}G(x)=\{g*x,g\in G\}G(x)={g∗x,g∈G} 为 $x$ 的轨道（其实就是等价类），Gx={g∣g∗x=x,g∈G}G^x=\{g|g*x=x,g\in G\}Gx={g∣g∗x=x,g∈G} 为 $x$ 的稳定子（其实就是不动点）。

轨道-稳定子定理：$|G|=|G^x||G(x)|$

证明：
首先，$G^x$ 是一个 $G$ 的子群，我们按照定义逐条验证：

1. 封闭性：$f\ast x=x,g\ast x=x\to (f\ast g)\ast x=f\ast (g\ast x)=x$，即 $f\in G^x,g\in G^x\to f\ast g\in G^x$。
2. 结合律：置换乘法本身始终有结合律。
3. 单位元：显然 $e\ast x=x$。
4. 逆元：$f\ast x=x\to x=f^{-1}\ast x$

既然是子群，根据拉格朗日定理，就有：
$$|G|=|G^x||G:G^x|$$
其中 $|G:G^x|$ 表示 $G^x$ 在 $G$ 中本质不同的陪集数量。
那么现在只需要证明 $|G:G^x|=|G(x)|$。

尝试在 $G^x$ 的陪集和 $x$ 的轨道之间建立双射关系。

1. 若 $f\ast x=g\ast x$（两个置换在 $x$ 轨道的同一位置），则有 $(g^{-1}\ast f)\ast x=x$，即 $g^{-1}\ast f\in G^x$，由前面陪集的性质四，也就有 $f{G}^x=g{G}^x$。
2. 若 $f{G}^x=g{G}^x$（两个置换生成的陪集相同），由于第一条使用的均为充要条件，反过来推依然成立，也就有 $f\ast x=g\ast x$。

所以我们得到，如果轨道相同则陪集相同，如果陪集相同则轨道相同，建立起了双射关系，命题得证。

有了轨道-稳定子定理，证明 Burnside 引理就不难了。
$$\begin{gathered} \sum _{g\in G}{X}^g=\sum _{x\in X}{G}^x \\ =\sum _{x\in X}\frac{|G|}{|G(x)|} \\ =|G|\sum _{x\in X}\frac{1}{G(x)} \\ =|G|\sum _{Y\in X/G}\sum _{x\in Y}\frac{1}{|Y|} \\ =|G|\sum _{Y\in X/G}1 \\ =|G||X/G| \end{gathered}$$
得证。

法2

一本通上的魔法操作。
被中间一大堆莫名其妙啰哩啰嗦的过程以及横空出世的“显然”整蒙了好久
但看明白了确实还是挺优雅的。

考虑一个大小为 $k$ 的等价类 $S$。
从里面任选一个状态 $a_1$。
那么设 $g_1$ 为满足 $g_1\ast a_1=a_1$ 的任意一个置换。（必然存在，至少可以是恒等置换 $I$）
那么对于 $S$ 中任意元素 $a_i$，设 $f_i$ 为满足 $f_i\ast a_1=a_i$ 的任意一个置换，那么 Wi={g∣g∗a1=ai,g∈G}W_i=\{g|g*a_1=a_i,g\in G\}Wi​={g∣g∗a1​=ai​,g∈G} 也就可以写成 {fi,fi∗g1,fi∗g12,...,fi∗g1d−1}\{f_i,f_i*g_1,f_i*g_1^2,...,f_i*g_1^{d-1}\}{fi​,fi​∗g1​,fi​∗g12​,...,fi​∗g1d−1​}，其中 $d$ 为 $g_1$ 的阶数。
那么可以看出，所有的 $|W_i|$ 都是相等的，且由于 $W_i$ 必然互不相交，并集为全集，就有 $|W_1|=|W_2|=...=|W_k|=\frac{|G|}{k}$。
也就是说，对于 $S$ 中每个元素 $a_i$，Gai={g∣g∗ai=ai,g∈G}G^{a_i}=\{g|g*a_i=a_i,g\in G\}Gai​={g∣g∗ai​=ai​,g∈G} 的大小均为 $\frac{|G|}{k}$，$S$ 中一共有 $k$ 个元素，那么总共就贡献了 $|G|$ 个不动点。
每个等价类都贡献 $|G|$ 个不动点，那么 Burnside 引理中的式子也就自然可得了。

Polya 定理

个人感觉 Polya 定理根本不配叫个定理
Burnside 给了我们计算本质不同方案的公式：
$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|X^g|$$
而 Polya 的用途就是快速计算 Burnside 的式子。
关键就是计算这个 $|X^g|$。
以染色问题为例，假设每个点可以染 $m$ 中颜色，或者说，$a_{1...n}$ 都可以在 $[1,m]$ 中取值。
对于一个置换 $g$，设其循环的个数为 $c(g)$，要想成为不动点，显然每个循环的颜色必须相同，而不同循环的颜色相互独立，因此不动点个数为 $m^{c(g)}$。
那么 Burnside 的式子也就可以写为：
$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}{m}^{c(g)}$$
然后嘞？
没了。
没了？
没了！
Polya 就这？
Polya 就这！
你上你也行
个人实在感觉这个东西和 Burnside 引理放在一起是对 Burnside 的侮辱…
也可能是我对 Polya 的理解还不太到位吧。